Données.

Remarques génerales.

Nous désignerons toujours:

• Les fonctions d'autocorrélation ou d'autocovariance par $\Gamma$.
• Les moyennes et variances par $\mu$ et $\sigma ^{2}$.
• L'espérance par $I\! \! E$.
• Les probabilités par $I\! \! P$.

On utilise des indices pour caractériser les différentes natures des objets considérés. Dans la mesure du possible, la signification des indices sera :

• indice $b$ pour ``bruité''
• indice $c$ pour ``calculé''
• indice $f$ pour ``filtré''
• indice $n$ pour ``normalisé''
• indice $v$ pour ``vrai''

L'objet Radioactif.

• $f$ sous toutes ses formes est utilisé pour décrire l'objet radioactif.
  • $f(\vec{x})=f(x,y,z)$ la valeur de la distribution en un point de l'espace.
  • On considère aussi l'image comme une matrice dans laquelle sont rangées les valeurs des voxels. Dans cette version discrète l'image se définie par $\{f\}_{(i,j,k)\in [1,N_{x}]\times [1,N_{y}]\times [1,N_{z}]}$. Quand on le pourra, on utilisera la notation simplifiée $f_{i,j,k}$.
  • Nous aurons souvent à considérer l'image comme un vecteur de dimension $N=N_{x}\times N_{y}\times N_{z}$. noté par $\textbf {f}=\{f\}_{n,n\in [1,N]}$. Sa forme simplifiée sera $f_{n}$. Nous avons évidemment un lien entre la forme matricielle et la forme vectorielle $n=i+j\times N_{x}+k\times N_{x}\times N_{y}$.
  • Lorsque nous aurons besoin de définir des itérations sur une image, nous aurons $\{f_{\alpha }\}_{i,j,k}$ ou $\textbf {f}_{\alpha }$ avec $\alpha$ représentant l'indice de l'itération considérée.
  • $D_{x}f$ Opérateur de gradient associé à la direction $x$. $\{D_{x}f\}_{n_{s}}=\{D_{x}f\}_{i,j,k}=f_{i,j,k}-f_{i-1,j,k}$. $\mathbf{D}_{x}\mathbf{f}$ désigne l'image de gradient associée à la direction $x$.
• Par respect de la règle générale, $f_{bf}$ par exemple désigne un objet radioactif bruité et filtré.
• $b$ sous toutes ses formes est utilisé pour décrire le bruit additif sur l'objet radioactif.
  • $b(\vec{x})=b(x,y,z)$ la valeur du bruit en un point de l'espace.
  • $\textbf {b}=\{b\}_{n,n\in [1,N]}$ est la version discrète, vecteur à $N$ éléments.
• $\mathbf{d}$ représentera le processus de ligne associé avec la reconstruction algébrique.

Le Sinogramme.

• $p$ sous toutes ses formes est utilisé pour décrire les données de projection.
  • $p(r,s,\theta ,\phi )$ nombre de photons $\gamma$ détectés suivant la ligne de coïncidence $(r,s,\theta ,\phi )$.
  • De même que pour les images, nous aurons besoin d'une version matricielle de ce sinogramme. Nous aurons donc: $\{p\}_{i,j,k,l\in [1,N_{r}]\times [1,N_{s}]\times [1,N_{\theta }]\times [-\frac{N_{\phi }-1}{2},\frac{N_{\phi }-1}{2}]}$ ou $p_{i,j,k,l}$ en version simplifiée.
  • $\textbf {p}=\{p\}_{m,m\in [1,M]}$ version discrète du sinogramme avec, en général $M=N_{r}\times N_{s}\times N_{\phi }\times N_{\theta }$ .
  • On distingue par des indices les différentes projections :
    • $p_{v}$ ou $\textbf {p}_{v}$ correspond aux projections vraies provenant de la caméra.
    • $p_{n}$ ou $\textbf {p}_{n}$ correspond aux projections calculées à partir d'un fantôme non bruité mais normalisé.
    • $p_{nb}$ ou $\textbf {p}_{nb}$ correspond aux projections calculées à partir d'un fantôme bruité et normalisé.
• $b^{p}$désigne un sinogramme de bruit.
  • $b_{v}^{p}=p_{n}-p_{v}$ correspond au sinogramme de bruit calculé par la différence entre les projections idéales normalisées et les projections issues d'un examen réel.
  • $b_{b}^{p}=p_{n}-p_{nb}$ correspond au sinogramme de bruit calculé par la différence entre les projection idéales normalisées et les projections issues d'un volume normalisé et bruité.