B.1 Modèle Poissonien [97]

L'émission radioactive est un phénomème intrinsèquement poissonien. Autrement dit le nombre de coups émis suit une statistique de poisson. Plaçons nous en un voxel $n$ particulier, le nombre de coups qui est émis dans une direction particulière et se projettant au détecteur d'indice $m$ suit une loi de poisson de paramètre $H_{mn}f_{n}$. Le nombre de coup qui est détecté au dexel $m$ est donc la somme de toutes les contributions de tous les voxels qui sont vus par ce détecteur. Autrement dit, la loi suivie par le détecteur $m$ est la somme de ces $n$ loi de Poisson. La loi suivie par le détecteur est donc également une loi de Poisson de paramètre $\hat{p}_{m}=\sum _{n}H_{mn}f_{n}$. Si de plus, les mesures de chacun des détecteurs sont indépendantes, on peut déduire la probabilité d'observer un jeu de projection $\mathbf{p}$ sachant la distribution $\mathbf{f}$:

$$I\! \! P(\mathbf{p}\vert\mathbf{f})=\prod _{m=1}^{M}\frac{1}{p_{m}!}\left( \hat{p}^{p_{m}}_{m}e^{-\hat{p}_{m}}\right)$$

La fonction de similarité s'introduit donc naturellement lorsqu'on décrit le modèle de bruit et terme de probabilité, car on obtient directement $J_{1}$ par:

$$J_{1}(\mathbf{f}) = -\log I\! \! P(\mathbf{p}\vert\mathbf{f})$$

$$= \sum _{m}p_{m}\log (\hat{p}_{m})-\sum _{m}\hat{p}_{m}+cste$$