0. Décomposition de l’image

Dans la nature, les objets sont définis à l'échelle macroscopique de manière continue, et la représentation de tels objets nécessiterait une fonction O(x,y) continue, définie en chaque point (x,y) de l'espace. Les algorithmes de reconstruction, eux, ne peuvent couvrir qu'une région particulière de l'espace et même au sein de cette portion de l'espace ne produisent qu'un ensemble discret de valeurs pour représenter une image. L'image numérisée f(i,j) se résume alors à un ensemble de MxN points, considéré comme un tableau rectangulaire obtenu après échantillonage S et quantification Q de l'image originale O(x,y) à support original continu



0. Base de Pixels

La manière la plus fréquente de discrétiser une image consiste à moyenner l'information sur une portion de surface[RB1]. En 2D, on utilise un élément carré : le pixel. L'image se résume alors à une série de MxN pixels auxquels on affecte une valeur représentative de l'information moyenne contenue dans ce pavé. Cette série de valeurs ne donne pas une représentation exacte de O(x,y) puisque les détails de résolution inférieure à la taille du pixel sont perdus lors du moyennage.



où représente la valeur en (i,j) de la sous image P_kl liée au pixel indexé ij , C_kl la valeur moyenne de cette sous image. Les sommes finies sur M et N définissent la portion de l'espace sur laquelle on décompose l'image originale. Ce sont les coefficients C_kl , qui définissent l'image, qui seront stockés dans l'ordinateur.

Nous avons décomposé l'image originale sur une base d'images élémentaires P_ij pour obtenir l'image discrétisée.

Remarque :

Si de plus on considère un ordre de lecture de ce tableau bidimensionnel, ordre lexicographique par exemple, cette série de MxN valeurs peut être mise sous la forme d'un vecteur colonne.



Si cette décomposition de l'image en pixels reste la plus fréquente, elle est loin d'être la seule....

1. Base de Blobs [RB9] [RB10] [RB12]

Au lieu de considérer un élément surfacique carré comme le pixel, on peut utiliser des images élémentaires basées sur une famille d’éléments à symétrie cylindrique. On définit alors une grille où chaque noeud sert de point d'ancrage à un membre de cette famille. Si la grille comporte N noeuds il y aura N images élémentaires : une par noeud. On peut montrer qu'un tel système constitue une base de décomposition.

Famille de Blobs

Les fonctions de bases, Blobs, utilisées dans cette décomposition sont une généralisation de la fenêtre de pondération de Kaiser-Bessel utilisée en traitement du signal. Une des particularités de cette famille de fonction, à la différence de celle des pixels, réside dans le fait que les images de base se recouvrent dans l’espace. Le contrôle de la continuité ainsi que celui des différentes propriétés des fonctions élémentaires de cette famille se fait par deux paramètres m (entier non négatif) et a (nombre réel). On désigne par B^{(m,a )}(r) un membre de cette famille :



où a indique l’étendue du blob et I_m la fonction de Bessel modifiée.

Il existe une littérature abondante pour l’utilisation des fonctions à symétrie de révolution dans des domaines variés (interpolation multidimensionnelle et approximation). En revanche, les fonctions décrites précédemment ont été introduites par Lewitt (1990) dans le cadre de la reconstruction d’images.

Notre image devient donc :



où B_k est un élément de la famille des Blobs centré en (i_k, j_k).

2. Base transformée

Nous avons jusqu’à présent décomposé l’image dans un repère " visuel "; mais nous savons qu’à cet espace de décomposition peut être associé un espace dual transformé.

Par la suite on suppose les images carrées.

Soit F(u,v) l’ensemble des N² points du tableau bidimensionnel que forme la transformée.



La transformée directe s’obtient par :



et la transformée inverse :



où a(i,u,j,v) et b(u,i,v,j) sont les noyaux de la transformation, ou simplement des opérateurs linéaires. Ces opérateurs linéaires pourraient être quelconques, mais pour simplifier, nous les considèrerons orthogonaux et séparables. Ainsi, ils pourront s’écrire de manière équivalente :

a(i,u,j,v) = a₁(i,u) . a₂(j,v)

b(u,i,v,j) = b₁(u,i) . b₂(v,j)

Il est ainsi possible de décomposer la transformation globale bidimensionnelle en deux transformations monodimensionnelles, l’une s’appliquant sur les lignes du tableau, l’autre sur les colonnes.



De plus, pour certaines transformations, les opérateurs a et b sont égaux, ainsi que a₁ et a₂, ce qui permet de n’utiliser qu’un seul algorithme pour effectuer les transformations directes et inverses.

On peut ré-écrire l’image discrétisée f(i,j) par :



ou encore



L’image f(i,j) est donc vue comme la somme pondérée par F(u,v) des sous images a_u(i)a_v(j.).

En d’autre termes, les transformations induites par les noyaux a_u et a_v opèrent un changement de base de la représentation de f(i,j), où l’on passe d’un repère visuel dans lequel chaque composante représente un degré de luminance d’un point d’image donné, à un repère " transformé " de même dimension N² mais où cette fois la base de représentation est composée de N² sous images et où chaque composante représente le poids de cette sous-image dans l’image f(i,j).

Il existe de nombreuses transformées orthogonales. La plus connue et la plus naturelle est la transformée de Fourier, base de l’analyse spectrale. Pour la transformée de Fourier discrète, le noyau de la transformation s’exprime par



obtenu en considérant la fonction périodique formée par la répétition du vecteur à coder :

M₁ M₂ M₃ M₄ M₁ M₂ M₃ M₄ M₁ ......

Lorsqu’on rend la fonction à la fois périodique et paire en fabriquant la suite

M₁ M₂ M₃ M₄ M₄ M₃ M₂ M₁ M₁...

seuls les termes en cosinus sont non nuls, on obtient la transformée en cosinus dont les coefficients sont :



De même, la transformée en sinus est la transformée de Fourier obtenue en rendant la fonction impaire.

On peut s’arrêter quelques instants à l’intérêt de passer dans un tel espace transformé.....

L’image échantillonnée, nous l’avons vu, se résume dans le cas d’images carrées à un tableau bidimensionnel de dimension N². Ces échantillons sont toutefois statistiquement dépendants et l’information se trouve répartie sur l’ensemble de l’image.

Dans le cas d’une base transformée, le changement d’espace de représentation produit une condensation de l’énergie. Si maintenant on regarde l’évolution de l’énergie des coefficients en fonction de leur rang on s’aperçoit que celle-ci décroit rapidement.



La transformation va donc concentrer l’information sur un ensemble réduit de coefficients. Autrement dit, si après transformation l’image est effectivement représentée par un tableau de N² coefficients, on pourra en conserver un nombre M<N² en ne détériorant que de façon raisonnable l’image.

1. Visualisation de l’image

Bien souvent après reconstruction d’une image, il est nécessaire d’afficher les résultats. La visualisation de cette image passe par l’utilisation d’un moniteur vidéo qui va afficher une série de points sur l’écran. Il est fréquent dans ce cas la de parler de pixels pour désigner la " résolution " de l’image affichée. On parlera d’image de 128*128 pixels. Même si par ce terme pixel, on désigne également une entité élémentaire, il s’agit d’une portion de l’écran et non de l’espace réel. On prendra donc bien soin de ne pas confondre les pixels écrans(Espace de Représentation) avec les pixels formant une base de décomposition de f(i,j). En effet, il sera possible de décomposer l’image sur une base de Fourier et ensuite d’en construire une image 128*128 pixels

2. Illustration d’une décomposition

Quelle que soit la base de décomposition de l’image, on a vu que l’image pouvait s’exprimer comme une somme pondérée de sous-images.

On trouve dans la table des illustrations, une représentation de quelques unes des images élémentaires pour les bases mentionnées au paragraphe 1.2.1. Figure 2.

0. Introduction

Nous nous sommes attachés dans un premier temps à la modélisation de la projection, dans un deuxième temps aux différentes bases de reconstruction, nous allons maintenant lier les deux dans l’objectif de reconstruire une image à l’aide de ses projections.

Nous disposons d’un jeu fini de projections p_l, nous voulons estimer les coefficients C_k caractéristiques de l’image à reconstruire pour une certaine base.

Rappelons que d’une manière générale:



où I_l représente la sous image indicée l de la base de reconstruction.

On cherche à exprimer la famille des projections {p} comme une combinaison linéaire des différents éléments de la famille {c}.



où H_il représente la contribution C_l de la sous image I_l à la projection p_i

1. Etablissement du Système

Un examen, en TEP, nous fournit pour un objet O(x,y) continu un jeu de mesures correspondant au nombre de coups détectés par capteur. Cet objet, après échantillonnage et quantification est représenté par une image approchée f_k. Cette approximation de l’objet sera maintenant considérée comme l’image originale. On va chercher à l’estimer, et l’estimation sera notée .

On souhaite que la projection de cette estimée soit la plus proche possible des projections obtenues par les mesures. Autrement dit, si on réalise la projection de notre estimation on veut que le jeu de projection obtenu soit aussi proche que possible du jeu expérimental. Dans le cas simple de la projection suivant une bande, le processus est modélisé par (paragraphe 1.1) :



C’est ce type de modélisation que nous allons prendre dans un premier temps pour sa simplicité. Notre approche de la projection est discrète et dans l’hypothèse où l’image est connue, une mesure de projection suivant une direction est modélisée par .:



On suppose que cette projection est en accord avec celle effectivement mesurée au niveau du capteur i.

On souhaite que la projection de l’estimée fournisse un résultat proche des p_i. En remplaçant dans l’expression précédente f_k par on obtient la projection estimée :



En remplaçant par sa décomposition,on obtient :



En inversant l’ordre des sommations, on obtient :



Si on définit H_il par on aboutit au système :



Ce qui peut s’écrire de manière plus condensée sous forme matricielle :



Si de plus on note par B la différence alors le système devient :



où B représente l’écart des projections mesurées avec les projections telles qu’elles sont modélisées. La volonté que les projections de l’estimée soient les plus proches possible des projections réelles revient à minimiser B.

2. Remplissage de H
0. Sens de H

C’est au sein de la matrice H qu’interviennent simulanément les mécanismes de projection et les bases de décomposition de l’image. Cette information liant les projections et l’image telle que l’on l’a définie conditionne le remplissage de la matrice H. On voit donc l’importance de cette étape avant la résolution du système, puisque H caractérise le flux de photons d’une région de l’espace jusqu’au détecteur ainsi que les caractéristiques de la détection. Cette matrice donne la contribution de la composante C_l de l’objet à la mesure p_i.

Dans une base de pixel, si on regarde H_il en fonction de i, celle ci représente la " point spread " fonction du système, la l^ieme colonne de H donne la réponse (ensemble de réponse des détecteurs) d’une source ponctuelle située en l.

1. Remplissage de H et information à priori