next up previous contents index
Next: 3.3 Discrétisation du Volume. Up: 3. Géométrie du Sinogramme. Previous: 3.1 Introduction.   Contents   Index


3.2 Le Référentiel.

La caméra est constituée d'un ensemble de couronnes formant un cylindre. Du fait de la propagation des photons $ \gamma $ en opposition, nous pouvons, par symétrie diviser l'espace d'acquisition en deux sous-espaces $ E_{1} $ et $ E_{2} $ (Fig.4.1).

Figure 4.1: Division de l'espace d'acquisition en deux.
\resizebox*{0,3\textwidth}{!}{\includegraphics{imgps/sg_fig1.ps}}

Le choix du plan séparant ces deux sous-espaces est arbitraire, du moment qu'il contient l'axe du cylindre. La subdivision revient à orienter la droite $ (AB) $ joignant deux détecteurs $ A $ et $ B $ en ne comptant que les LOR allant de $ E_{1} $ vers $ E_{2} $. En effet, le nombre de paires de photons détecté suivant $ (AB) $ est le même que celui détecté suivant $ (BA) $. Un événement correspond à deux photons en opposition.

On associe au cylindre un repère $ \cal R $ orthonormé $ (\vec{i},\vec{j},\vec{k}) $ d'origine $ O $, centre géométrique du cylindre (Fig.4.2).

Figure: Modélisation géométrique de la caméra.
[Couronne] [Ligne de Coïcidence] [Repère sphérique]

L'axe des $ z $ (axe défini par $ \vec{k} $) de ce référentiel coïncide avec l'axe du cylindre. $ \vec{i} $ et $ \vec{j} $ définissent respectivement les axes des $ x $ et des $ y $. Ils appartiennent donc à un plan transaxial. Nous pouvons, dans ce repère, référencer l'objet à imager. Cet objet correspond à une distribution radioactive $ f(\vec{x}) $ qui à chaque point $ \vec{x}=(x,y,z) $ de l'espace affecte une quantité $ f $ représentative de la radioactivité. Dans ce repère, la LOR $ (AB) $ définit une droite de vecteur directeur unitaire $ \vec{n} $. Deux angles $ (\theta ,\phi )$ sont nécessaires pour caractériser totalement ce vecteur $ \vec{n} $ (Coordonnées sphériques).

Un plan $ \Pi $, normal à ce vecteur $ \vec{n} $ peut alors être construit. La LOR intercepte ce plan en un point $ P $. Il faut deux vecteurs unitaires $ (\vec{r},\vec{s}) $ dans ce plan pour référencer $ P $. On définit donc un repère $ \cal {R}' $ du plan $ \Pi $ par $ (O',\vec{r},\vec{s}) $. $ \vec{r} $ est un vecteur appartenant à un plan transaxial (parallèle au plan définit par $ \vec{i} $ et $ \vec{j} $). $ \vec{s} $ lui est orthogonal et $ O'$ peut être choisi n'importe où sur la droite de vecteur directeur $ \vec{n} $ passant par l'origine $ O $. Toute LOR $ (AB) $ conduit dans $ \mathcal{R}' $ à un point $ P $ unique de coordonnées $ (r,s)\vert _{\cal {R}'} $ . Chaque LOR est donc totalement référencée dans l'espace par le quadruplet $ (r,s,\theta ,\phi ) $. Le sinogramme correspondant à une acquisition en 3D à 4 dimensions ! Ce quadruplet nous permet, dans le repère associé au cylindre, de décrire totalement la droite représentative de la ligne de réponse $ (AB) $. Un point $ M $ appartient à cette droite s'il existe $ k_{1}\in \mathbb{R} $ tel que $ \overrightarrow{O'M}=\overrightarrow{O'P}+k_{1}.\vec{n} $.


next up previous contents index
Next: 3.3 Discrétisation du Volume. Up: 3. Géométrie du Sinogramme. Previous: 3.1 Introduction.   Contents   Index
Lecomte Jean François 2002-09-07