3.2 Le Référentiel.

La caméra est constituée d'un ensemble de couronnes formant un cylindre. Du fait de la propagation des photons $\gamma$ en opposition, nous pouvons, par symétrie diviser l'espace d'acquisition en deux sous-espaces $E_{1}$ et $E_{2}$ (Fig.4.1).

Figure 4.1: Division de l'espace d'acquisition en deux.

Le choix du plan séparant ces deux sous-espaces est arbitraire, du moment qu'il contient l'axe du cylindre. La subdivision revient à orienter la droite $(AB)$ joignant deux détecteurs $A$ et $B$ en ne comptant que les LOR allant de $E_{1}$ vers $E_{2}$. En effet, le nombre de paires de photons détecté suivant $(AB)$ est le même que celui détecté suivant $(BA)$. Un événement correspond à deux photons en opposition.

On associe au cylindre un repère $\cal R$ orthonormé $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ d'origine $O$, centre géométrique du cylindre (Fig.4.2).

Figure: Modélisation géométrique de la caméra.

[Couronne]	[Ligne de Coïcidence]	[Repère sphérique]

L'axe des $z$ (axe défini par $\vec{k}$) de ce référentiel coïncide avec l'axe du cylindre. $\vec{i}$ et $\vec{j}$ définissent respectivement les axes des $x$ et des $y$. Ils appartiennent donc à un plan transaxial. Nous pouvons, dans ce repère, référencer l'objet à imager. Cet objet correspond à une distribution radioactive $f(\vec{x})$ qui à chaque point $\vec{x}=(x,y,z)$ de l'espace affecte une quantité $f$ représentative de la radioactivité. Dans ce repère, la LOR $(AB)$ définit une droite de vecteur directeur unitaire $\vec{n}$. Deux angles $(\theta ,\phi )$ sont nécessaires pour caractériser totalement ce vecteur $\vec{n}$ (Coordonnées sphériques).

• $\theta$ définit l'angle de vue. Du fait de la subdivision de l'espace en deux sous espaces ( $\theta \in [0,\pi [$).
• $\phi$ définit l'angle correspondant à l'inclinaison. Pour décrire totalement l'espace il faudrait que $\phi \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$. Or, du fait de la nature cylindrique du système d'acquisition, l'intervalle de valeur décrit par cette variable est limité à $\phi \in [-\phi _{max},\phi _{max}]$, où $\phi _{max}$ définit l'angle maximal d'inclinaison.

Un plan $\Pi$, normal à ce vecteur $\vec{n}$ peut alors être construit. La LOR intercepte ce plan en un point $P$. Il faut deux vecteurs unitaires $(\vec{r},\vec{s})$ dans ce plan pour référencer $P$. On définit donc un repère $\cal {R}'$ du plan $\Pi$ par $(O',\vec{r},\vec{s})$. $\vec{r}$ est un vecteur appartenant à un plan transaxial (parallèle au plan définit par $\vec{i}$ et $\vec{j}$). $\vec{s}$ lui est orthogonal et $O'$ peut être choisi n'importe où sur la droite de vecteur directeur $\vec{n}$ passant par l'origine $O$. Toute LOR $(AB)$ conduit dans $\mathcal{R}'$ à un point $P$ unique de coordonnées $(r,s)\vert _{\cal {R}'}$ . Chaque LOR est donc totalement référencée dans l'espace par le quadruplet $(r,s,\theta ,\phi )$. Le sinogramme correspondant à une acquisition en 3D à 4 dimensions ! Ce quadruplet nous permet, dans le repère associé au cylindre, de décrire totalement la droite représentative de la ligne de réponse $(AB)$. Un point $M$ appartient à cette droite s'il existe $k_{1}\in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{O'M}=\overrightarrow{O'P}+k_{1}.\vec{n}$.