3.3 Discrétisation du Volume.

Dans la nature, les objets sont définis à l'échelle macroscopique de manière continue, et la représentation de tels objets nécessite une fonction $f(x,y,z)$, continue, définie en chaque point $(x,y,z)$ de l'espace. Les algorithmes ne peuvent utiliser qu'un ensemble discret de valeurs pour représenter l'image. L'image numérisée $\mathbf{f}$ se résume alors à une série de coefficients $f_{n}$ dans une base $I_{n}(x,y,z)$ comportant $N$ éléments (composante pour cette base):

$$f(x,y,z)=\sum ^{N}_{n=1}f_{n}I_{n}(x,y,z)$$

Il est donc nécessaire de choisir une base pour représenter le volume. Pour stocker une image dans un ordinateur, il est nécessaire de mémoriser ses composantes dans une base particulière. On donne en Annexe (Ch.C) les modes de représentations les plus standards lorsqu'on cherche de manière discrète à décrire un volume.

Nous utiliserons la manière la plus fréquente, et de loin la plus utilisée pour discrétiser une image. Elle consiste à moyenner l'information sur une portion de l'espace. En 3D, on utilise le voxel , qui correspond à un élément parallélépipédique de volume. L'image se résume alors à une série de $N=N_{i}\times N_{j}\times N_{k}$ voxels auxquels on affecte une valeur représentative de l'information moyenne contenue dans ce parallélépipède. Cette série de valeurs ne donne évidemment pas une représentation exacte de l'objet puisque les détails dont la résolution est inférieure à la taille du voxel sont ``perdus'' par le moyennage. Dans cette représentation, chaque élément de la base correspond à un parallélépipède situé sur une grille régulière. Cette base correspond à une base orthogonale puisque les éléments de volume de la base sont disjoints. Le produits scalaire de deux éléments distincts de la base est donc nul. Les valeurs moyennes sur chacun de ces éléments de la base constituent les coefficients $f_{n}$ conservés dans l'ordinateur.