3.4 Discrétisation du Sinogramme.

Il existe une grande variabilité sur le mode de discrétisation du volume, et le choix du mode de représentation dépend fortement de l'utilisation faite du volume. Suivant l'approche envisagée, on ajuste sa représentation. En effet, pour une simulation Monte-Carlo des approches orientées par la forme sont préférables tandis que pour des opérations de filtrage une approche fréquentielle est plus appropriée. Il n'en est pas de même pour le sinogramme. En effet, comme pour le choix du référentiel, c'est l'algorithme de reconstruction qui guide la discrétisation. Pratiquement, on conserve une version discrétisée de l'espace défini par le quadruplet $(r,s,\theta ,\phi )$. Il s'agit donc d'un tableau à 4 dimensions:

$$\left( r_{i},s_{j},\theta _{k},\phi _{l}\right) _{(i,j,k,l)\in [1... ...s}]\times [1,N_{\theta }]\times [-\frac{N_{\phi }-1}{2},\frac{N_{\phi }-1}{2}]}$$

où $N_{r}$, $N_{s}$, $N_{\theta }$, $N_{\phi }$ représentent les nombres d'éléments suivant chacune des variables.^3.1 Par la suite, et afin d'alléger les notations dans sa version discrète, le tableau sera simplement décrit par $(r,s,\theta ,\phi )$. Les indices ne seront utilisés que pour lever des ambiguïtés. D'autre part, $N_{s}$ sera dénommé par nombre de plans , $N_{\theta }$ par nombre de vues , $N_{\phi }$ par nombre d'inclinaisons ou nombre de segments .

3.4.0.0.1 Remarque :

La Fig.4.3 indique comment ce sinogramme est stocké en mémoire.

Figure: Stockage du sinogramme en mémoire.

L'indice variant le plus rapidement est celui correspondant à $r$ puis à $s$ puis à $\theta$ et enfin à $\phi$.

Pratiquement pour un examen effectué sur la caméra ECAT HR+ SIEMENS, chaque plan $\Pi$ de projection fait $(N_{r},N_{s})=(288,63)$ éléments et $(N_{\theta },N_{\phi })=(144,5)$ directions sont envisagées. Comment partant d'un empilement de 32 couronnes de 576 détecteurs (18432 détecteurs au total) peut-on arriver à un sinogramme ayant de telles dimensions?

3.4.1 Angle et Champ de vue.

On pourrait croire de prime abord que tout couple de détecteurs choisi parmi les 18432 détecteurs peut donner lieu à une LOR. Le sinogramme constituerait alors en une simple énumération de ces $(\frac{18432}{2})^{2}$ couples de détecteurs possibles.^3.2 Or, nous l'avons dit, pour la reconstruction standard des données, cette solution n'a pas été retenue.

Fixons l'angle $\phi$ à 0 et recherchons pour cet angle, quels sont les couples susceptibles d'être appariés pour former une LOR. $\phi$ est nul, les lignes de coïncidences correspondent donc à des directions $\vec{n}$ et s'inscrivent dans des plans transaxiaux. Du fait de l'orientation du cylindre (empilement de couronnes), considérer un plan transaxial revient à apparier des détecteurs d'une seule et même couronne (les couronnes sont dans des plans transaxiaux). Chacune des 32 couronnes comporte 576 détecteurs. Un détecteur de $E_{1}$ sur une couronne devrait donc avoir la possibilité d'être apparié avec un des $\frac{576}{2}$ détecteurs possibles de $E_{2}$. En fait, plutôt que de chercher pour un détecteur quels sont ceux que l'on peut lui apparier, nous allons grouper les couples de détecteurs par direction. Par exemple, sur la Fig.4.4, plutôt que de chercher la famille des détecteurs $B,C,D,\ldots$ pouvant former avec $A$ une LOR, on constate que les couples $(AB)$, $(A_{1},B_{1})$ et $(A_{-1},B_{-1})$ se regroupent sous une même direction de projection (en vert sur la figure). De même, les couples de détecteurs $(AC)$, $(A_{1},C_{1})$ et $(A_{-1},B_{-1})$ (en rouge) ou $(AD)$, $(A_{1},D_{1})$ et $(A_{-1},D_{-1})$ (en bleu) se regroupent sous un même angle de vue $\theta$. Ceci nous amènerait à envisager $\frac{576}{2}=288$ directions de projections ou angles de vue. Or, nous n'avons que 144 angles de vues !

Pour un angle de vue $\theta$, nous avons normalement $\frac{576}{2}=288$ couples de détecteurs se regroupant sous cette direction. Ceci devrait nous conduire à $288$ valeurs de $r$ par direction. Comme le champ de vue est restreint, seul $144$ couples sur les $288$ possibles sont envisagés pour une direction $\theta$ (Fig.4.4)

Figure 4.4: Angles et Champs de vue. (a) les couples $(AB)$, $(A_{1},B_{1})$ et $(A_{-1},B_{-1})$ se regroupent sous une même direction de projection (en vert sur la figure). De même, les couples de détecteurs $(AC)$, $(A_{1},C_{1})$ et $(A_{-1},B_{-1})$ (en rouge) ou $(AD)$, $(A_{1},D_{1})$ et $(A_{-1},D_{-1})$ (en bleu) se regroupent sous un même angle de vue. Nous avons également représenté la trace des plans de projection relatifs à chacune des directions ($\Pi _{B}$, $\Pi _{C}$, $\Pi _{D}$). (b) Le champ de vue est restreint. Pour une direction, seule une partie des couples possibles est envisagée. Seules les LOR détectées dans la zone bleue sont envisagées

[Regroupement des couples suivant des angles de vues ($\theta$).] [Champ de vue pour un angle de vue $\theta$.]

. Nous devrions donc en tout état de cause n'avoir que 144 valeurs de $r$ possible ! Or, nous avons annoncé 288 valeurs de $r$ !

3.4.2 Entrelaçage des vues.

Quelle est l'origine de cette réduction du nombre de vues d'un facteur deux et de cette augmentation dans un facteur deux du nombre de projections par vue? Ce facteur deux que nous observons provient d'un entrelaçage des vues. Pour comprendre l'intérêt de cet entrelaçage, arrêtons nous Fig.4.5

Figure: Intérêt de l'entrelaçage des vues. Pour une émission de deux photons $\gamma$ au centre de la caméra suivant un angle $\theta _{k+1}$, du fait de la distance séparant deux détecteurs, ce point d'émission ne sera détecté suivant la direction $\theta _{k}$. Le pas d'échantillonnage est trop grossier. On regroupe les vues correspondant à deux angles successifs $\theta _{k}$ et $\theta _{k+1}$ au sein d'un seul angle de vue.

et imaginons une émission de deux photons $\gamma$ au centre de la caméra suivant un angle $\theta _{k+1}$. Du fait de la distance séparant deux détecteurs, ce point d'émission ne sera détecté par aucun couple correspondant à la direction $\theta _{k}$. Le pas d'échantillonnage est trop grossier. Afin de réduire ce pas et donc de pouvoir décompter cette émission, on va regrouper les vues correspondant à deux angles successifs $\theta _{k}$ et $\theta _{k+1}$ au sein d'un seul angle de vue $\theta _{k}$. La Fig.4.5 n'est pas dessinée à l'échelle, ainsi l'angle séparant deux vues consécutives n'est pas si important qu'il peut y sembler. La Fig.4.6

Figure: Procédure d'entrelaçage des vues. Les projections a, b, c, d (en noir) correspondent à un angle de vue $\theta _{k}$ et e, f, g (en bleu) à $\theta _{k+1}$. On les intègre au sein d'un seul angle de vue en les rangeant dans l'ordre a, e, b, f, c, g, d. On multiplie de la sorte par deux le nombre de projections par angle de vue ($N_{r}$) en réduisant de moitié le nombre de directions de projection ou nombre de vues ( $N_{\theta }$).

résume comment sont entrelacées les données. Les projections a, b, c, d (en noir) correspondent à un angle de vue $\theta _{k}$ et e, f, g (en bleu) à $\theta _{k+1}$. On les intègre au sein d'un seul angle de vue en les rangeant dans l'ordre a, e, b, f, c, g, d. On multiplie de la sorte par deux le nombre de projections par angle de vue ($N_{r}$) en réduisant de moitié le nombre de directions de projection ou nombre de vues ( $N_{\theta }$). Cet artifice diminue sensiblement le pas d'échantillonnage à l'intérieur du champ de vue. Mais il s'agit bien d'un artifice car le fait d'entrelacer les projections se traduit également par une distorsion. Cette dernière reste toutefois limitée puisque les différences angulaires mises en jeu entre deux vues successives restent faibles. L'entrelaçage des vues affecte les variables relatives à $r$ et $\theta$, il faut donc chercher ailleurs comment partant de 32 couronnes on peut obtenir 63 plans ($N_{s}$).

3.4.3 Plan de détecteurs.

Précédemment nous avions fixé l'angle $\phi$ à 0. Cela nous permettait de ne considérer qu'une couronne de détecteurs et nous pouvions parler de plan transaxial. Cela nous permettait de dessiner sur une feuille (et donc dans un plan) une tranche du cylindre de détecteurs. Toutes les lignes de coïncidences que nous envisagions s'inscrivaient dans ces plans transaxiaux. En faisant varier $r$ et $\theta$, nous décrivions des LOR situées dans un plan transaxial à une hauteur $s$ (fixée par la couronne envisagée).

Dans le référentiel théorique envisagé précédemment (Par.4.2), pour tout angle $\phi$ fixé, qu'il soit nul ou non, nous décrivons un plan lorsque nous faisons varier les variables $r$ et $\theta$. C'est ce plan que nous appellerons Plan de détecteurs. Ainsi, les plans transaxiaux associés à chaque couronne correspondent à un cas particulier des plans de détecteurs. Cependant, si tout se passe bien lorsque l'angle $\phi$ est nul, les choses se compliquent lorsque nous envisageons une inclinaison non nulle. Pour s'en persuader, il suffit de regarder la Fig.4.7.

Figure: Définition du plan de détecteurs. Le plan de détecteurs théorique intercepte le cylindre suivant une ellipse (en rouge), mais les couples de détecteurs correspondant à un même angle de vue et situés sur deux couronnes différentes ne suivent pas vraiment cette ellipse à mesure que l'on s'éloigne du centre du champ de vue.

[Plan de détecteurs théorique et son approximation.]

[Référentiel associé au plan de détecteurs.]

Comme précédemment, on tente d'apparier les détecteurs correspondant à un même angle de vue (un même $\theta$), mais situés sur deux couronnes différentes. Le fait de considérer deux couronnes différentes nous fixe un angle $\phi$. Malheureusement, tous les couples de détecteurs ne s'inscrivent plus réellement dans un plan et notamment dans le plan théorique que décrit $r$ et $\theta$ pour l'inclinaison $\phi$ fixée par l'écart entre les couronnes. Sur la Fig.4.7.a, le plan de détecteurs théorique intercepte le cylindre suivant une ellipse (en rouge), mais les couples de détecteurs correspondant à un même angle de vue et situés sur deux couronnes différentes ne suivent pas vraiment cette ellipse à mesure que l'on s'éloigne du centre du champ de vue. Heureusement, vu le rayon du cylindre, vu les petits angles $\phi$ envisagés et comme nous avons limité le champ de vue, on considère que ces couples de détecteurs appartiennent tout de même à un plan : le fameux plan de détecteurs. Si $A_{i}$ représente un détecteur de l'espace $E_{1}$ situé sur la couronne d'indice $i$ et $B_{j}$ représente son vis à vis (diamétralement opposé) dans l'espace $E_{2}$ situé sur la couronne d'indice $j$. Nous parlerons par la suite du plan de détecteurs $\Upsilon _{A_{i}B_{j}}$. L'inclinaison $\phi$ du plan est liée à la différence d'indice $i-j$ entre les couronnes envisagées. On peut donc définir un nombre $\Delta c=j-i$ représentant la différence d'indice entre les couronnes mises en jeu. Cette différence est représentative d'un famille de plan de détecteurs, qui sont tous parallèles et dont la hauteur (l'abscisse $s$) est elle aussi fixée (elle est liée à $\frac{i+j}{2}$).

3.4.4 Angle d'acceptance.

Nous avons précédemment montré comment partant des lignes de coïncidences qui présentent la même direction que le couple de détecteurs $(A_{i},B_{j})$ nous pouvions construire un plan de détecteurs $\Upsilon _{A_{i}B_{j}}$. Nous devrions donc avoir normalement autant de plans $N_{s}$ dans notre sinogramme qu'il existe de couronnes.

Mais un plan de détecteurs regroupe et comptabilise plusieurs LOR d'inclinaisons différentes.

Considérons que les détecteurs sont situés sur une même couronne ($i=j$). Une ligne de coïncidence $(A_{i},B_{i})$ comptant les photons $\gamma$ émis suivant la direction $\vec{n}$ associée à $(A_{i}B_{i})$ dans la portion de l'espace définie par ces deux détecteurs $A_{i}$ et $B_{i}$(parallélépipède en vert Fig.4.8) est enregistrée au niveau du plan de détecteurs $\Upsilon _{A_{i}B_{i}}$ ( $(r,s,\theta ,\phi _{ij}=0)$ fixé)

Figure 4.8: Notion d'angle d'acceptance (voir texte).

. Considérons, suivant le même angle $\theta$ , le détecteur $A_{i-1}$(respectivement $A_{i+1}$) placé sur la couronne juste en dessous (respectivement en dessus) de $A_{i}$. On définit de même les détecteurs $B_{i-1}$(et $B_{i+1}$) pour le détecteur $B_{i}$. Les photons détectés par les couples de détecteurs $(A_{i-1},B_{i+1})$ et $(A_{i+1},B_{i-1})$ sont comptabilisés au sein du même plan de détecteurs $\Upsilon _{A_{i}B_{i}}$, même si ces couples définissent des angles d'inclinaisons $\phi \ne 0$ et donc des LOR qui n'appartiennent pas au plan de détecteurs. L'élément du sinogramme défini par le quadruplet $(r,s,\theta ,0)$ intégrera donc tous les photons émis au sein de cet espèce de noeud papillon et détectés par les couples de détecteurs $(A,B)$, $(A_{i-1},B_{i+1})$ ou $(A_{i+1},B_{i-1})$. Cela revient vu du centre de la caméra à définir un angle d'acceptance $\phi _{acceptance}$ (Fig.4.8) . Tous les photons $\gamma$ émis dans des directions $\vec{n}$ qui vérifient

$$\widehat{(\overrightarrow{OA},\vec{n})}\in \left[ \frac{-\phi _{acceptance}}{2},\frac{\phi _{acceptance}}{2}\right]$$

seront donc comptabilisés au sein du même plan $\Upsilon _{A_{i}B_{i}}$. Cet angle définit l'angle d'acceptance axial. On peut de la même manière définir un angle d'acceptance transaxial par la définition d'un angle de vue $\theta _{acceptance}$. Cela correspond à affecter au quadruplet $(r,s,\theta ,0)$, les photons $\gamma$ détectés par des couples de détecteurs situés sur les cotés de $A_{i}$ et de $B_{i}$ et non plus en dessus ou en dessous.

En groupant différentes inclinaisons au sein d'un même plan, on augmente le nombre de paires de photons $\gamma$ qui y sont détectés. Cet artifice a d'abord été utilisé pour augmenter la sensibilité des imageurs TEP destinés à faire des acquisitions du corps complet. En effet, pour de tels examens, on réalise des acquisitions courtes, donc présentant une mauvaise statistique. On l'améliore en regroupant certaines lignes de coïncidence au sein d'un même plan de détecteurs.[24]. Toutefois, ce regroupement introduit un flou sur la résolution spatiale. Ce flou est d'autant plus important que l'on s'éloigne du centre du champ de vue. Un angle d'acceptance important conduit à une dégradation importante de la résolution. En revanche, au vu du rayon des couronnes de détecteurs vis à vis du champ généralement imagé, cette dégradation reste limitée pour un angle d'acceptance choisi de façon judicieuse.

Trois termes sont nécessaires pour caractériser l'acceptance: le brassage (mashing), l'écartement (span), et l'écart maximum entre couronnes. Le brassage est utilisé pour définir l'angle d'acceptance transaxial tandis que l'écartement et l'écart maximum entre couronnes servent à décrire l'angle d'acceptance axial.

3.4.4.1 Angle d'acceptance transaxial et Brassage.

Rappelons que l'entrelaçage des vues permet de multiplier par deux le nombre de vues (Par.4.4.2). En l'état, ceci correspond à un brassage valant 0. Si deux projections adjacentes sont additionnées pour n'en former plus qu'une seule, la valeur du brassage est de 1. Une valeur de 2 pour le brassage revient à combiner ensemble quatre projections adjacentes.

3.4.4.2 Angle d'acceptance axial et Ecartement.

Nous avons vu (Par.4.4.4), comment, au sein d'un même plan de détecteurs, nous pouvions regrouper plusieurs LOR d'angles d'inclinaison différents. Toutefois dans cette description, certains couples de détecteurs n'ont pas été envisagés. Au niveau de quel plan de détecteurs sont comptés les photons $\gamma$ détectés par les couples de détecteurs $(A_{i},B_{i-1})$ et $(A_{i-1},B_{i})$ et leur homologues? On constate Fig.4.9

Figure: Introduction de plans de détecteurs fictifs (voir texte).

que les droites joignant les centres de ces couples de détecteurs ne se coupent pas en $O$ , comme pour les couples de détecteurs $(A_{i},B_{i})$, $(A_{i-1},B_{i+1})$ ou $(A_{i+1},B_{i-1})$, mais de manière légèrement décalée vers le bas, i.e. en $O'$. On introduit donc un plan fictif $\Upsilon _{A_{i}'B_{i}'}$, parallèle à $\Upsilon _{A_{i}B_{i}}$, décalé d'une demie hauteur de détecteur. Le nombre de plans $N_{s}$ s'en trouve augmenté. Le plan passant par le point $O$ intègre de l'information provenant de 3 inclinaisons différentes tandis que celui passant par $O'$ n'en intègre que sur deux. L'angle d'acceptance ne sera pas le même suivant qu'il s'agisse d'un plan passant par $O$ ou d'un plan passant par $O'$. Ainsi, les $N_{s}$ plans observés sont de deux natures : Les plans pairs $\{s_{j}\}_{2j}$ intègrent l'information provenant de $m$ inclinaisons et les plans impairs $\{s_{j}\}_{2j-1}$ le font sur seulement $m-1$ inclinaisons. Dans l'exemple servant pour l'illustration, nous avons $m=3$. On définit alors l'écartement par $\Delta m=m+m-1=2m-1$, soit dans l'exemple $\Delta m=5(=3+2)$. L'angle d'acceptance est fixé par la donnée de cet écartement $\Delta m$. $m$ est une valeur entière, l'écartement est donc également une valeur entière dont les valeurs possibles sont 3 (1+2), 5 (2+3), 7 (3+4), etc. De fait, l'angle d'acceptance est à valeur discrète dans $[0,\frac{\pi }{2}]$.

L'écartement est donc toujours un nombre impair correspondant à la somme du nombre de couples de détecteurs pris en compte pour les plans pairs et de celui des plans impairs.

3.4.4.2.1 Remarque :

Le regroupement d'un certain nombre de couples de détecteurs a permis de manière artificielle d'augmenter le nombre de plans $N_{s}$. Cette augmentation correspond à une diminution du pas d'échantillonnage suivant la direction axiale (diminution de la distance entre 2 plans de détecteurs). En apparence, tout se passe comme si la mesure avait été faite avec des détecteurs fictifs plus petits. Une fois acquis et en vue de la reconstruction, on considère que chaque quadruplet $(r,s,\theta ,\phi )$ correspond à une ligne de coïncidence dont la direction est fixée effectivement par une droite joignant deux de ces détecteurs fictifs. Les $N_{s}$ plans du sinogramme sont alors tous de même nature, et on oublie au moment de la reconstruction le regroupement de lignes de coïncidence effectué lors de l'acquisition.

3.4.4.3 Ecart maximum entre couronnes et nombre de segments $N_{\phi }$.

3.4.4.3.0.1 Michelogramme

Nous avons jusqu'à présent entrevu comment, partant de la géométrie initiale de la caméra, nous pouvions modifier le triplet $(N_{r},N_{s},N_{\theta })$. L'entrelaçage des vues nous permet de jouer sur $N_{r}$ et $N_{\theta }$ tandis que l'écartement nous permet de jouer sur $N_{s}$. Pour aller plus loin dans la compréhension de la détermination de $N_{s}$ mais aussi du nombre d'inclinaisons $N_{\phi }$, nous pouvons faire appel à un diagramme de visualisation développé par CTI©en collaboration avec Christian Michel de l'université catholique de Louvain: Le Michelogramme.

Il s'agit simplement d'un tableau bidimensionnel dans lequel on reporte en abscisse l'indice $i$ des couronnes dans $E_{1}$ et en ordonnée l'indice $j$ des couronnes dans $E_{2}$. Chaque couple $(i,j)$ pris sur ce diagramme traduit la mise en correspondance entre un détecteur de $E_{1}$ pris sur la couronne d'indice $i$ et un détecteur de $E_{2}$ pris sur la couronne d'indice $j$. Autrement dit, chaque couple de ce Michelogramme définit l'angle $\phi$ associé à un plan de détecteurs. Pour un couple $(i,j)$, on obtient une série de plan correspondant à un $s$ (lié à $\frac{i+j}{2}$) et à un $\phi$ (lié à $i-j$) fixés. Si on suppose, pour l'exemple, que $A_{6}$ comme $B_{6}$ sont sur la couronne d'indice 6, le couple $(6,6)$ définit un plan de détecteurs $\Upsilon _{A_{6}B_{6}}$ transaxial. Ce plan transaxial coupe le cylindre à hauteur de la 6 $^{\grave{e}me}$ couronne. Un écartement $\Delta m$ de 9 nous conduit à intégrer au sein du plan $\Upsilon _{A_{6}B_{6}}$, d'inclinaison nulle, les lignes de coïncidences détectées suivant les plans de détecteurs d'inclinaison non nulle $\Upsilon _{A_{5}B_{7}}$, $\Upsilon _{A_{4}B_{8}}$, $\Upsilon _{A_{7}B_{5}}$ et $\Upsilon _{A_{8}B_{4}}$. On trace alors sur le Michelogramme (Fig.4.10) un segment de droite joignant les couples $(6,6)$ pour $\Upsilon _{A_{6}B_{6}}$, $(5,7)$ pour $\Upsilon _{A_{5}B_{7}}$, $(4,8)$ pour $\Upsilon _{A_{4}B_{8}}$, $(7,5)$ pour $\Upsilon _{A_{7}B_{5}}$ et $(8,4)$ pour $\Upsilon _{A_{8}B_{4}}$.

Figure: Michelogramme correspondant au premier segment d'un sinogramme construit avec 20 couronnes et un écartement de 9.

Cette portion de droite dessinée en vert sur la Fig.4.10 correspond au plan pair d'indice 12. Pour le plan impair d'indice 11, on joint par une portion de droite sur le Michelogramme, les couples $(6,5)$, $(5,6)$, $(7,4)$ et $(4,7)$. Le Michelogramme Fig.4.10 permet donc de résumer les indices des couronnes à apparier pour obtenir les plans de détecteurs pairs (en vert) et impairs (en rouge) d'une caméra qui aurait 20 couronnes et dont l'écartement serait de $\Delta m=9$ (4+5).

Tous les plans obtenus (pairs et impairs) sont des plans transaxiaux $\Upsilon _{A_{i}B_{j}}$ dont les indices $i$ et $j$ sont égaux. Cette série de couples d'indice $(i,j)$ se répartie autour de la droite $j=i$ (droite bleue sur la Fig.4.10). Un plan de détecteurs pair intègre de l'information venant de 5 angles d'inclinaisons différents, un plan impair l'intègre seulement sur 4. La Fig.4.11 donne la signification de deux des lignes tracées sur le Michelogramme Fig.4.10 correspondant aux plans de détecteurs d'indice 11 et 12. Partant de $N_{c}$ couronnes, on construit $N_{s}=2\times N_{c}+1$ plans.

Figure: Interprétation du Michelogramme.

3.4.4.3.0.2 Remarque:

Les premiers et les derniers plans du sinogramme intègrent les paires de photons sur un nombre plus faible de couples de détecteurs (segments de droite plus courts sur le Michelogramme). En effet, il existe des cas où il n'y a pas de détecteur en dessus ou au dessous d'un capteur. Si il a 20 couronnes, il n'y a pas de détecteur au dessus pour un capteur situé sur la couronne 20. Le cylindre est de dimension finie!

3.4.4.3.0.3 Segment.

Toutes les portions de droites dessinées sur le Michelogramme correspondent à des plans de détecteurs présentant le même angle d'inclinaison $\phi =\phi _{0}=0$. En effet, tous les couples de détecteurs se regroupent dans des plans transaxiaux $\Upsilon _{A_{i}B_{j}}$ dont la différence d'indice entre couronne est nulle ( $\Delta c_{segment}=j-i=0$). On regroupe l'ensemble de ces plans de détecteurs (il existe autant de plans de détecteurs que de segments de droite sur le Michelogramme) dans un tableau à 3 dimensions $(r,s,\theta )$ que l'on nomme Segment. Le segment regroupe tous les plans de détecteurs présentant un même angle d'inclinaison (un même $\Delta c_{segment}$). Sur le Michelogramme, Fig.4.10 est représenté le segment pour un angle $\phi _{0}=0$ (premier segment ou segment 0). Or, le sinogramme mémorise plusieurs angles d'inclinaison ($N_{\phi }$). Nous avons donc autant de segments que de valeurs de l'angle $\phi$, c'est à dire $N_{\phi }$ segments.

Un segment correspond à une portion $(r,s,\theta )$ d'un sinogramme $(r,s,\theta ,\phi )$ pour un angle d'inclinaison $\phi$ particulier.

Chaque couple $(i,j)$ du Michelogramme et donc tout couple de détecteurs ne peut être utilisé qu'une seule fois. Un couple de détecteurs est compté dans un plan de détecteurs particulier et un seul. Sur le Michelogrammse, les groupes de portions de droite correspondant à deux segments différents doivent donc être disjoints. Sur la Michelogramme Fig.4.12, on retrouve le premier segment décrit précédemment, mais aussi deux autres segments correspondant à des inclinaisons $\phi _{l}$ non nulles (Segment +1 ($\phi _{1}$) et Segment -1 ( $\phi _{-1}$) ).

Figure: Michelogramme correspondant à 3 segments (-1,0,+1) d'un sinogramme construit avec 20 couronnes et un écartement de 9.

La Fig.4.13 donne la signification de deux portions de droite tracées sur le segment +1 correspondant aux plans 1 et 2.

Figure: Interprétation du Michelogramme.

Pour l'exemple, en considérant le segment +1 du Michelogramme Fig.4.12, les lignes de coïncidences détectées suivant des plans $\Upsilon _{A_{5}B_{10}}$, $\Upsilon _{A_{4}B_{11}}$, $\Upsilon _{A_{3}B_{12}}$, $\Upsilon _{A_{2}B_{11}}$, $\Upsilon _{A_{1}B_{10}}$ sont regroupées au sein du plan de détecteurs $\Upsilon _{A_{3}B_{12}}$ (plan impair). Partant des mêmes indices de couronnes et pour obtenir le plan pair correspondant, nous regroupons $\Upsilon _{A_{4}B_{10}}$, $\Upsilon _{A_{3}B_{11}}$, $\Upsilon _{A_{2}B_{12}}$, $\Upsilon _{A_{1}B_{11}}$au sein du plan de détecteurs parallèle à $\Upsilon _{A_{3}B_{12}}$ mais décalé d'une demie-hauteur de couronne vers le bas. Tous les plans de ce segment présentent la même différence d'indice $\Delta c_{segment}=12-3=9$ et les couples $(i,j)$ correspondants se répartissent sur le Michelogramme autour de la droite d'équation $j=i+9$. Pour ce segment, contrairement au premier, c'est le plan impair qui intègre de l'information provenant de 5 inclinaisons (le plan pair ne l'intègre que sur 4 inclinaisons). Le segment +2 est caractérisé par une différence $\Delta c_{segment}=18$, les couples $(i,j)$ se répartissent autour de la droite $j=i+18$ et l'information provenant de 5 inclinaisons est intégrées par un plan pair. Nous pouvons itérer jusqu'au nombre de segments possibles en inversant à chaque fois la parité des plans intégrant de l'information sur 5 inclinaisons.

3.4.4.3.0.4 Différence d'indice, écartement et écart maximum entre couronnes.

Du fait de l'écartement, et même si finalement les plans de détecteurs du premier segment sont des plans transaxiaux, ils intègrent de l'information venant de détecteurs placés sur des couronnes différentes. Les capteurs $A_{6}$ et $B_{5}$, par exemple, induisent une différence $\Delta c=6-5=1$. Pour le segment $l$, caractérisé par un angle d'inclinaison $\phi _{l}$ particulier, on peut définir une différence d'indice entre couronnes $\Delta c$ minimale $\Delta c_{min}\vert _{\phi _{l}}$ (une différence maximale $\Delta c_{max}\vert _{\phi _{l}}$). Les valeurs de $\Delta c_{min}\vert _{\phi _{l}}$ et $\Delta c_{max}\vert _{\phi _{l}}$ dépendent du segment considéré mais aussi de la valeur de l'écartement $\Delta m$. Pour le premier segment (segment 0) avec un écartement de 9 (Fig.4.11), la différence maximale $\Delta c_{max}\vert _{\phi _{0}}$ est de 4 (calculée sur les capteurs $A_{8}$ et $B_{4}$ par exemple) alors que la différence minimale $\Delta c_{min}\vert _{\phi _{0}}$ est de -4.^3.3

Comme les couples de détecteurs ne peuvent être utilisé qu'une seule fois, la différence $\Delta c_{min}\vert _{\phi _{l}}$ peut se déduire de la différence $\Delta c_{max}\vert _{\phi _{l-1}}$ du segment précédent :

$$\Delta c_{min}\vert _{\phi _{l}}=\Delta c_{max}\vert _{\phi _{l-1}}+1$$

De plus, comme l'écartement est le même pour tous les segments, la différence d'indice entre couronnes est fixée, et par conséquent l'angle $\phi _{l}$ de chacun des segments l'est également. Il y a donc toujours $\Delta m$ valeurs de $\Delta c$ pour chaque segment.

$$Card\left[ \Delta c_{min}\vert _{\phi _{l}},\Delta c_{max}\vert _{\phi _{l}}\right] =\Delta m$$

Pour le premier segment, les $\Delta m$ valeurs sont centrées sur 0. Ainsi, il y a $\Delta m=9$ valeurs pour aller de $\Delta c_{min}\vert _{\phi _{0}}=-4$ à $\Delta c_{max}\vert _{\phi _{0}}=4$.

Considérons le segment +1 illustré Fig.4.13 (l'écartement vaut 9). Un calcul direct à partir de cette Fig.4.13 nous conduit à $\Delta c_{min}\vert _{\phi _{1}}=10-5=5$ et $\Delta c_{max}\vert _{\phi _{1}}=14-1=13$. Ces valeurs de différence sont en accord avec les lois énoncées précédemment $\Delta c_{min}\vert _{\phi _{1}}=\Delta c_{max}\vert _{\phi _{0}}+1=5$ et nous avons bien $\Delta m$ valeurs entre $\Delta c_{min}\vert _{\phi _{1}}$ et $\Delta c_{max}\vert _{\phi _{1}}$. Pour le segment -1, nous obtenons : $\Delta c_{max}\vert _{\phi _{-1}}=-5$ et $\Delta c_{min}\vert _{\phi _{-1}}=-13$. Les segments -1 et +1 sont miroirs l'un de l'autre.

On peut donc définir maintenant l'écart maximum entre couronnes qui correspond à la différence maximale d'indice calculée sur l'ensemble des $N_{\phi }$ segments du sinogramme :

$$\Delta c_{max}=\max _{l>0}\left( \Delta c_{max}\vert _{\phi _{l}}\right)$$

Dans l'exemple précédent, si le sinogramme ne comportait que les segments 0, +1, -1, l'écart maximum entre couronnes $\Delta c_{max}$ serait:

$$\Delta c_{max}=\max (\Delta c_{max}\vert _{\phi _{0}},\Delta c_{max}\vert _{\phi _{1}})=13$$

Ce qu'il faut comprendre et surtout retenir dans tout cela, c'est que le nombre de segments $N_{\phi }$ (ou nombre d'inclinaisons) est lié de façon univoque :

• à l'écartement $\Delta m$
• à l'écart maximum entre couronnes $\Delta c_{max}$.

En effet, lors d'une acquisition les deux valeurs $\Delta m$ et $\Delta c_{max}$ sont fixées, on ne peut pas alors construire autant de segments que l'on veut. L'exclusivité d'affectation d'une ligne de correspondance à un plan de détecteurs et le fait de regrouper plusieurs inclinaisons au sein d'un même plan nous conduit à:

$$N_{\phi }=\frac{2\times \Delta c_{max}+1}{\Delta m}$$

Ceci, correspond sur le Michelogramme, au nombre maximum de groupes de segments de droite disjoints que l'on peut dessiner.

Pour un examen courant sur la caméra ECAT HR+ standard, l'écartement vaut 9 et l'écart maximum entre couronne vaut 22. Ceci contraint le nombre de segments à

$$N_{\phi }=\frac{2\times \Delta c_{max}+1}{\Delta m}=\frac{2\times 22+1}{9}=5$$

3.4.4.4 Nombres de plans $N_{s}$ et Vues Manquantes.

Nous voyons que l'élaboration d'un sinogramme correspond à un jeu subtil de mise en correspondance de couples de détecteurs. Dans un sinogramme, chaque segment correspond à un angle d'inclinaison donné $\phi _{l}$ caractérisé par une différence d'indice entre couronnes $\Delta c_{segment}$. Il parait évident que si l'angle $\phi _{l}$ est non nul, i.e. si le segment correspond à une acquisition oblique, le nombre possible des plans de détecteurs diminue. Certains couples de détecteurs ne pouvant plus être appariés, car la différence $\Delta c_{segment}$ conduit à des détecteurs situés en dehors de l'empilement des couronnes (Fig.4.14).

Figure 4.14: Acquisitions obliques et vues manquantes. Chaque segment correspond à un angle d'inclinaison donné $\phi _{l}$ caractérisé par une différence d'indice entre couronnes $\Delta c_{segment}$. Si l'angle $\phi _{l}$ est non nul, certains couples de détecteurs ne peuvent plus être appariés, car la différence $\Delta c_{segment}$ conduit à des détecteurs situés en dehors de l'empilement des couronnes (en rouge sur la figure b)

[Segment correspondant à $\phi _l=0$.]

[Segment correspondant à $\phi_l \ne 0 \Rightarrow \Delta_c \ne 0$.]

Ceci conduit à un nombre de plans $N_{s}\vert _{\phi _{l}}$ dépendant du segment considéré. Nous avons pour les segments d'inclinaison non nulle ( $\phi _{l}\ne 0$):

$$N_{s}\vert _{\phi _{l}}=N_{s}\vert _{\phi _{0}}-2*\min (\vert\Delta c_{min}\vert _{\phi _{l}}\vert,\vert\Delta c_{max}\vert _{\phi _{l}})$$

Nous résumons dans le tableau Tab.4.1

Table: Valeurs des paramètres pour $\Delta m=9$ et $\Delta c_{max}=22$.

Segment	$\Delta c_{Segment}$	$l$	$\phi _{l}$(rad)	$\Delta c_{min}\vert _{\phi _{l}}$	$\Delta c_{max}\vert\phi _{l}$	$N_{s}\vert\phi _{l}$
-2	-18	5	-0.105	-22	-14	35
-1	-9	3	-0.053	-13	-5	53
0	0	1	0	-4	4	63
+1	9	2	0.053	5	13	53
+2	18	4	0.105	14	22	35

les valeurs caractéristiques des différents paramètres définis dans le cas d'un sinogramme issus de la caméra ECAT HR+. Le sinogramme présente 5 segments $\{-2,-1,0,12\}$ ayant respectivement $\{35,53,63,53,35\}$ plans de détecteurs. Cette variation du nombre de plans en fonction du segment considéré s'oppose à la notion de tableau à 4 dimensions que nous avons cité précédemment. On peut toutefois conserver la notion de tableau (quatrième dimension constante et égale au nombre de plans du premier segment $N_{s}\vert _{\phi _{0}}$), en introduisant la notion de vues manquantes. Pour les segments obliques, il y aura les portions de l'espace correspondant aux plans extrêmes, invisibles suivant cette incidence. On affecte à ces quadruplets $(r,s,\theta ,\phi )$ non détectables des valeurs de projections nulles ( $p(r,s,\theta ,\phi )=0$).

3.4.5 Sinogramme en Images.

Afin d'illustrer les nombreux concepts énoncés, propres à une acquisition de géométrie cylindrique, nous allons donner les deux modes de représentation du sinogramme les plus fréquents.

3.4.5.1 Direction de projection $(\theta ,\phi )$ fixée.

De manière imagée (Fig.4.15), on peut se représenter le sinogramme par la donnée d'un plan $\Pi$ défini par $(\vec{r},\vec{s})$ qui tourne autour de l'objet émettant (lorsque $(\theta ,\phi )$ varient).

Figure 4.15: Le sinogramme, un plan tournant.

On peut donc dans un premier temps visualiser le sinogramme suivant un de ces plans $\Pi$. On fixe l'angle de vue $\theta$ et on représente le plan $\Pi$ correspondant à 3 segments d'inclinaison différente (Fig.4.16)

Figure: Illustration du sinogramme pour différents segments lorsque l'angle de vue est fixé. En abscisse, c'est la variable $r$ qui varie et en ordonnée, c'est la variable $s$. On affecte à chaque point une couleur qui dépend du nombre de coups comptés au quadruplet $(r,s,\theta ,\phi )$. Chaque ligne correspond à l'intégration sur un plan de détecteurs de l'information relative à l'objet émettant .

. En abscisse, c'est la variable $r$ qui varie et en ordonnée, c'est la variable $s$. On affecte à chaque point une couleur qui dépend du nombre de coups comptés au quadruplet $(r,s,\theta ,\phi )$. Chaque ligne correspond à l'intégration sur un plan de détecteurs de l'information relative à l'objet émettant. On voit Fig.4.16b. et Fig.4.16c. que pour des angles d'inclinaison non nulle, il y a des zones de l'espace qui ne sont pas vues et qui sont nulles. Le cerveau apparaît tronqué en haut et en bas.

3.4.5.2 Représentation sous forme de sinogrammes bidimensionnels.

Une deuxième façon de voir les choses consiste à fixer une valeur de $s$ dans un segment particulier ($\phi$ fixé), on obtient alors des images bidimensionnelles (Fig.4.17)

Figure: Vue d'un sinogramme pour un $s$ et un $\phi$ fixé. Un déplacement en abscisse correspond à un déplacement suivant l'axe $\vec{r}$ et en se déplaçant en ordonnée on tourne autour de l'objet ($\theta$ varie).

, où l'abscisse correspond toujours à une valeur de $r$ mais où l'ordonnée correspond à une variation de l'angle de vue. Sur une colonne, et de haut en bas, on tourne autour de l'objet. Ce mode de représentation est utile car il permet la comparaison avec des sinogrammes 2D qui eux ne sont définis que par $(r,\theta )$. Or par la suite, de nombreux principes seront expliqués et illustrés en nous appuyant sur la théorie de la reconstruction 2D.