A.3 La simulation

Nous venons de voir, une à une, les principales briques qui constituent la physique des processus de diffusion que subissent les photons, ainsi que les spécificités de la TEP, nous pouvons maitenant essayer de construire un simulateur analytique de ce processus dans un examen TEP.

Figure A.8: Notations pour la simulation

On considère une ligne de coincidence, i.e. on donne deux capteurs situés en $A$ et $B$. On se fixe un volume émetteur (Fig.A.8). Chaque point $S$ de ce volume est susceptible de correspondre à un site où une diffusion a eu lieu. La ligne de coincidence originale $[BC]$ est donc altérée. On ne considère que la diffusion simple ( i.e. lorsque un seul des deux photons emis en coincidence est diffuse et ne subit qu'une interaction). Une fois $A$ et $B$ donnés, le point $S$ correspond à une diffusion suivant un angle $(\vec{B}S,\vec{S}A)$ bien précis pour qu' après avoir été deviés par diffusion, les photons soient détectés par les 2 capteurs $A$ et $B$. Si l'angle est fixé, l'énergie du photon délivrée sur les détecteurs est, elle aussi, bien déterminée. En chaque point S, on va donc chercher le nombre moyen $N$ de paires de photons émis dans le volume qui vont diffuser en S et observé au niveau de la ligne de coincidence $AB$. Il y a deux possibilités suivant que le point d'émission des 2 photons avant diffusion en $S$ est situé sur le trajet $[AS]$ où $[BS]$. On suppose pour expliquer le calcul que l'émission a lieu sur le trajet $[BS]$.

Pour estimer $N$, il faut connaître :

1. Le nombre d'éléments radioactifs susceptibles de donner une émission dans la direction considérée $[BS]$. Il est donné par l'intégration sur le long du chemin $S_{B}=[SI_{B}]$ de la densité$n_{e}$ de traceur radioactif.
   $$\int _{S_{B}}n_{e}(s)ds$$

2. La probabilité pour ces éléments radioactifs d'émettre dans l'angle solide que représente la surface $B$ du détecteur vue du point de diffusion $S$. L'émission est isotrope donc a lieu dans $4\pi$ stéradians. La portion dans l'angle solide du détecteur s'obtient par règle de trois
   $$\frac{1}{4\pi }\times \frac{\sigma _{B}}{R_{B}^{2}}$$
   où $\sigma _{B}$ est la surface du détecteur $B$ et $R_{B}$ la distance qui sépare le point de diffusion $S$ du détecteur.
3. La probabilité pour ces photons de parcourir le parcours $S_{B}$. Elle s'obtient facilement en considérant le facteur d'atténuation linéique $\mu$.
   $$e^{-\int _{S_{B}}\mu (E_{0},S)ds}$$

4. La probabilité de diffusé suivant l'angle $(\widehat{\vec{B}S,\vec{S}A})$ dans l'angle solide que représente la surface du détecteur $A$ vues du point de diffusion $S$. Elle s'obtient grâce au calcul de Klein et Nishina
   $$\underbrace{\frac{d\sigma }{d\Omega }(\theta )}_{Probabilit\acute{e}}\times \underbrace{\frac{\sigma _{A}}{R_{A}^{2}}}_{AngleSolide}$$
   où $\sigma _{A}$ est la surface du détecteur $A$ et $R_{A}$ la distance qui sépare le point de diffusion $S$ du détecteur. La probabilité est considérée constante sur l'angle solide lié au détecteur.
5. La probabilité pour le photon diffusé de parcourir le trajet $S_{A}$. Elle s'obtient facilement en considérant le facteur d'atténuation linéique $\mu$.
   $$e^{-\int _{S_{A}}\mu (E_{1},S)ds}$$

6. La probabilité pour les 2 photons d'être détectés par les capteurs $A$ et $B$. On la calcule en faisant l'hypothèse simple d'une résolution en énergie qui est gaussienne. On trouve d'après (A.8) :
   $$\epsilon _{A}(E_{1})=\epsilon _{B}(E_{1})=\frac{1}{2}erfc\left[ \... ...ght] -\frac{1}{2}erfc\left[ \frac{E_{u}-E_{1}}{\sqrt{2}\sigma _{E_{1}}}\right]$$