C.1 Décomposition régulière du volume.

C.1.1 Base de voxels.

La manière la plus fréquente, et de loin la plus utilisée pour discrétiser une image consiste à moyenner l'information sur une portion de l'espace. En 3D, on utilise le voxel , qui correspond à un élément parallélépipèdique de volume. L'image se résume alors à une série de $N=N_{i}\times N_{j}\times N_{k}$ voxels auxquels on affecte une valeur représentative de l'information moyenne contenue dans ce parallélépipède. Cette série de valeurs ne donne évidemment pas une représentation exacte de l'objet puisque les détails dont la résolution est inférieure à la taille du voxel sont perdus par le moyennage. Dans cette représentation, chaque élément de la base correspond à un parallélépipède situé sur une grille régulière. Cette base correspond à une base orthogonale puisque les éléments de volume de la base sont disjoints. Le produits scalaire de deux éléments distincts de la base est donc nul. Les valeurs moyennes sur chacun de ces éléments de la base constituent les coefficients $f_{n}$ conservés dans l'ordinateur.

C.1.2 Base de Blobs.

L'orthogonalité de la base précédente était assurée par le fait que ses éléments correspondaient à des portions de volume disjointes dans l'espace. Malheureusement, du fait de ce découpage arbitraire en parallélépipèdes élémentaires, on obtient une voxelisation de notre objet ! Il existe des contours francs à la limite entre chacun des voxels. L'idée des blobs est donc de considérer une base dont les éléments se recouvrent dans l'espace. Les fonctions de base, blobs , utilisées dans cette décomposition sont une généralisation des fenêtres de pondération de Kaiser-Bessel utilisées en traitement du signal. Il existe une littérature abondante pour l'utilisation des fonctions à symétrie de révolution dans des domaines variés (interpolation multidimensionnelle et approximation). En revanche, les fonctions décrites précédemment ont été introduites par Lewitt dans le cadre de la reconstruction d'images [62,61]. On considère alors une grille régulière, différente de celle utilisée pour les voxels afin d'augmenter la compacité de l'échantillonnage (cela revient à essayer de ranger le maximum de billes, les blobs, dans un volume le plus restreint possible).

C.1.3 Base duale transformée.

Nous avons jusqu'à présent décomposé l'image dans un repère "visuel "; mais nous savons qu'à cet espace de décomposition peut être associé un espace dual transformé (espace ``fréquentiel''). Les images représentatives des éléments de la base sont des images fréquentielles construites à l'aide de fonctions cosinus, sinus, ou exponentielles suivant que les transformations mises en jeu correspondent à des transformées en cosinus ou à des transformées de Fourier. Les coefficients résumant l'image constituent alors la proportion de chacune des harmoniques présentes dans l'objet imagé pour la base de décomposition fréquentielle envisagée.