4.1 Une modélisation ultraréaliste : Monte-Carlo.

4.1.1 Introduction.

On peut qualifier de Monte-Carlo, toute méthode de calcul utilisant des nombres aléatoires pour résoudre un problème donné. Cette technique est particulièrement appréciée lorsqu'il s'agit de résoudre un problème qui ne comporte pas de solution analytique. Elle consiste à décomposer le problème en maillons physiques élémentaires. On définit pour chaque maillon, un comportement statistique particulier. On procède ensuite pas à pas, en effectuant pour chaque maillon, un tirage aléatoire suivant la loi de probabilité qui lui est associé. Toute la valeur de la modélisation repose sur le réalisme de la loi de probabilité décrivant le phénomène et la qualité du générateur de nombres aléatoires. Pour simuler par une méthode de type Monte-Carlo, il faut donc définir au préalable les maillons physiques retenus et leur associer des lois de probabilité. D'autre part, il faut être capable d'effectuer des tirages suivant cette loi de probabilité (Méthode d'échantillonnage ).

4.1.2 Générateur et méthode d'échantillonnage.

Quel que soit le secteur d'application de la simulation Monte-Carlo, il est toujours nécessaire de disposer d'un générateur de nombres aléatoires de très haute qualité. Les nombres générés par celui-ci seront des valeurs particulières d'une variable aléatoire continue sur $[0,1]$. Aujourd'hui la plupart des générateurs de nombres aléatoires font appel à des algorithmes déterministes et ne peuvent construire que des séquences pseudo-aléatoires [79]. Il faut donc ensuite évaluer et tester la qualité de ces générateurs [64,79] (Test du $\chi ^{2}$, test des suites de nombres, test de Kolmogorov-Smirrnov, critère des moments, test de Cramer-von-Mises). Aujourd'hui, c'est la méthode dite congruentielle multiplicative de Lehmer qui connaît la plus large audience [58]. Il faut ensuite échantillonner la distribution de probabilité envisagée, c'est à dire effectuer le tirage d'une variable aléatoire suivant une loi de probabilité connue par sa distribution théorique ou empirique. Or, le générateur de nombres aléatoires dont nous disposons effectue un tirage aléatoire sur une loi uniforme dans $[0,1]$. Il nous faut donc partant de ce générateur trouver un moyen d'effectuer un tirage suivant une loi quelconque. Les deux principales méthodes sont la méthode d'inversion et la méthode du rejet [64,79,57].

Il est ensuite nécessaire de définir les différents maillons physiques que l'on souhaite intégrer au simulateur et en extraire les lois empiriques ou théoriques.

4.1.3 Maillons physiques.

On va suivre chronologiquement l'histoire d'un événement. Les différents maillons sont donc:

• La naissance d'un positon dans le milieu émetteur (choix du lieu d'émission, de son énergie, de sa direction).
• Le parcours du positon jusqu'à son annihilation.
• Emission des deux photons $\gamma$ (directions, écart angulaire entre les directions de propagation des deux photons).
• Interaction de chacun des deux photons avec le milieu (effet photoélectrique, effet Compton, effet Rayleigh).
• Détection des photons à l'aide de cristaux scintillants.

La trajectoire d'un photon dans un milieu peut être considérée comme une succession d'interactions avec les éléments du milieu. Au fil des interactions, les caractéristiques et la nature physiques des particules peuvent varier. Suivre la particule revient à déterminer, à chaque instant $t$, son libre parcours moyen. On effectue alors un tirage aléatoire suivant les lois de probabilités propres au milieu traversé. La comparaison du résultat de ce tirage avec le libre parcours moyen permet de savoir si la particule a interagi. En cas d'interaction, les nouvelles caractéristiques de la particules sont calculées en fonction des lois de probabilités du phénomène ayant crée l'interaction. On recommence la procédure à l'instant $t+1$. Dans cette façon de procéder, les sections efficaces totales nous permettent de calculer les libres parcours, alors que les sections différentielles définissent la nature de l'interaction et la variation des caractéristiques.

4.1.4 Diagramme de simulation.

Globalement, le schéma permettant de construire un sinogramme partant d'un volume émetteur est illustré Fig.5.1 (D'après [57]).

Figure 5.1: Diagramme de simulation Monte-Carlo.

Sur ce diagramme, au coeur de la simulation, on pose souvent la question: ``le photon appartient-il au milieu courant ?'' Il est donc nécessaire, à tout moment, de connaître la distance séparant la position courante de la particule de la frontière la plus proche avec un autre milieu de nature différente. Il s'agit en effet de comparer le libre parcours, choisi aléatoirement, à cette distance. Les interactions sont bien évidemment fonctions du milieu traversé. Pour le calcul de cette distance, la manière dont est décrit l'objet émettant (approche par les voxels, orientée par la forme, décomposition octree,...) est de la première importance pour obtenir une simulation Monte-Carlo performante.

Ce genre d'approche, bien que particulièrement réaliste, nécessite un coût de calcul prohibitif, notamment pour effectuer de nombreuses simulations à des fins statistiques. D'autre part, ce mode de projection étant réaliste, il faut être en mesure, une fois le sinogramme obtenu, de le corriger du diffusé et de l'atténuation (introduit de manière intrinsèque lors de la simulation) afin de pouvoir reconstruire. C'est pourquoi, afin de pouvoir disposer d'un simulateur rapide, nous allons envisager la projection analytique. Signalons de surcroit, que Reilhac A. est en train d'écrire dans le cadre de sa thèse un simulateur réaliste Monte-Carlo de la caméra SIEMENS ECAT HR+ [80].