Dans ce type d'approche, on va chercher à estimer de manière globale, le nombre d'émissions vues par un couple de détecteurs et donc par un quadruplet particulier du sinogramme.
Toute portion radioactive de l'espace émet des photons en opposition de manière isotrope. Pour cette portion de l'espace, une petite partie seulement de ces émissions va se produire suivant la direction . Pour que, de plus, ces photons soient comptabilisés par le couple de détecteurs (on suppose pour l'instant l'absence de phénomènes perturbateurs), il faut qu'ils soient émis sur la droite joignant ces deux capteurs: la portion de l'espace envisagée doit appartenir à cette droite. Ainsi, tout couple de détecteurs va enregistrer toutes les paires de photons crées dans une portion de l'espace appartenant à la droite et émises suivant la direction . Calculer un sinogramme revient à affecter à tout quadruplet caractérisant un couple de détecteurs, le nombre de photons comptés suivant cette ligne de coïncidence durant toute la durée d'un examen:
Lorsque nous avons défini le choix de l'origine (origine dans le plan
de projection cf. Ch.4), nous avons dit qu'elle
pouvait se situer n'importe où sur la ligne de coïncidence. C'est à dire
que si nous décalons l'origine en tel que
alors:
Jusqu'à présent, nous avons toujours considéré que seules les portions de l'espace situées sur la droite et dans la direction contribuaient à la valeur du sinogramme. Considérons maintenant l'expression plus générale:
Le calcul d'un sinogramme passe par le choix d'une méthode pour estimer la projection d'un volume sur un plan suivant une direction . Pour expliciter les algorithmes liés à la projection et afin d'alléger notations et figures, nous allons aborder le problème en deux dimensions.4.1 Le cas tridimensionnel s'en déduit naturellement, les principes restant les mêmes. Notre objet devient donc bidimensionnel . Sa version discrétisée reste . Le sinogramme correspondant se définit simplement par la projection de cet objet sur une droite . Cette droite est référencée dans l'espace par la donnée du couple (Fig.5.2).
La projection à calculer devient:
A ce niveau, Il semble indispensable de faire une remarque sur le parti pris par la suite pour la représentation de l'objet. Nous avons exposé brièvement qu'il existait de nombreuses représentations de l'image. Parmi celles-ci, la représentation spatiale dans un contexte continu (celle des voxels en discret) n'est qu'une alternative. Sa popularité vient de sa simplicité d'emploi qui donne sans intermédiaire une représentation visuelle de l'objet. En effet, Il y a équivalence entre les coefficients décrivant l'image et la perception que nous en avons. Dans l'équation Eq.5.3, les coefficients sont étroitements liés à la base de représentation de notre objet. D'ailleurs représente la contribution d'une fonction élémentaire de la base de représentation à la projection. Le calcul de pour différentes bases de représentations peut être trouvé dans [56].
Pour construire des projections partant d'un volume représenté par des voxels, deux approches ont été envisagées.
Cette approche est la plus simple à mettre en oeuvre (Fig.5.3)
. Pour une direction de projection possible (une direction fixée par un ), on parcourt tous les pixels de l'image. Un pixel d'indice correspond à une position bien précise dans l'espace . Il s'agit en général du centre du pixel. On détermine où ce point se projette sur la droite par une projection suivant .
La valeur entière de nous conduit à un indice du sinogramme-tableau tel que . On cherche les indices du sinogramme correspondant au couples de détecteurs vus de ce pixel (réponse impulsionnelle) et on incrémente les valeurs des contributions apportées par .
Cette méthode élémentaire se décline sous de nombreuses variantes en fonction de la forme de la réponse impulsionnelle choisie. On distribue l'information contenue dans le pixel en fonction de la distance séparant le centre d'un détecteur d'indice du point réel de projection . A titre d'illustration, on donne deux exemples correspondant à deux réponses impulsionnelles différentes (Fig.5.4)
[Interpolation linéaire.] [Interpolation Gaussienne.] |
Dans ce cas, on ne répartit la contribution sur le détecteur le plus proche par valeur inférieure () et sur son successeur , on effectue alors une simple interpolation linéaire
Il est admis qu'une gaussienne est une bonne approximation permettant de modéliser la contribution des photons directs [35,8]. Sa forme générale dépend principalement de l'angle solide sous lequel est vu le pixel par les détecteurs. Toutefois, si on considère une réponse impulsionnelle gaussienne d'écart type fixe (invariance spatiale), on affecte une contribution au détecteur en fonction de
L'inconvénient majeur de cette méthode vient du fait que l'image comme les projections sont échantillonnées. Quand on parcourt l'image, le déplacement se fait par des incréments régulier de où pixels. Ces déplacements, une fois projetés, se traduisent par un pas d'échantillonnage suivant la direction tel que ou . Le sinogramme est lui même déjà échantillonné avec un pas . Le ratio n'est pas constant et dépend de la direction de projection . De plus, il existe toujours une direction de projection qui conduit à une situation critique produisant un effet d'aliasing (Fig. 5.5).
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Dans l'approche précédente, nous parcourions le volume pour savoir à quel endroit chaque voxel se projetait dans le sinogramme. A l'inverse, on veut savoir ici quels sont les voxels qui contribuent à une projection donnée. On va donc parcourir tous les dexels. Chaque dexel du sinogramme, i.e. tout indice , référence un point particulier dans le plan de projection. D'autre part, cet indice fixe également une direction par la donnée des deux angles . Partant du point , on parcourt l'espace suivant cette direction (sorte de lancer de rayon suivant la ligne de coïncidence) et on intègre en les contributions, en terme de nombre de coups, de tous les éléments de volume rencontrés sur notre parcours de la ligne de coïncidence. Lors de ce parcours , il faut être certain d'avoir traverser tout le volume émetteur. Or, nous avons vu que les plans de projections sont invariants pour un déplacement suivant la direction de projection . On va donc placer le plan tangent à la sphère englobant tout le volume servant à la projection (Fig.5.7.a).
[Choix de l'origine du plan ] [Parcours de la droite dans l'espace discret du volume.] |