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7.3.1 FOurier REbinning (FORE).
Le rebinning par l'algorithme FORE proposé dès 1995 par Defrise et collaborateurs
[28] est une approche attrayante, déjà intellectuellement par la
théorie sur laquelle il s'appuie, mais aussi parcequ'il permet de s'affranchir
des problèmes de précisions (SSRB) ou de mauvais comportement en présence de
bruit (MSRB). En revanche, l'algorithme FORE ne repose pas sur des concepts
aussi simples que les autres méthodes de rebinning. Nous l'envisageons
seulement dans une approche géométrique, mais une expression exacte du rebinning
développée par Defrise [29] permet d'établir le coeur de l'algorithme
et ses limitations. L'approche théorique s'offre même le luxe d'englober le
SSRB.
Nous avons montré que dans le cas idéal, le sinogramme revenait à intégrer les
photons sur la LOR
. Nous avons montré que le
plan de projection est invariant par translation suivant le vecteur
. Le point de projection peut donc être choisi n'importe
où sur la LOR. Par la suite ce point est choisi à mi-chemin entre les deux détecteurs
et . Ceci conduit à des coordonnées faciles à calculer.
Lorsque, partant de la géométrie illustrée Fig.8.2,
Figure:
Géométrie pour la description de l'algorithme FORE.
[Une LOR .]
[Notation dans le plan transaxial passant par .]
[Notation dans le plan contenant axe et le point .]
|
nous cherchons à lier les coordonnées du point avec les données auxquelles
nous avons accès dans un sinogramme (le quadruplet
),
nous trouvons :
Exprimons maintenant le vecteur directeur de la LOR:
Comme est constant et différent de
, nous
réécrivons ces coordonnées différemment:
Si on traduit l'intégration sur la LOR, nous obtenons:
D'un autre coté, exprimons la transformée de Fourier 2D de
suivant les variables et .
|
(7.2) |
En remplaçant dans Eq.8.2,
par sa
valeur dans Eq.8.1, nous obtenons:
|
(7.3) |
On réécrit tout cela en considérant les variables et et on
choisit
et
de telle sorte que:
Comme nous reconnaissons le changement de variable associé à une rotation,
nous en déduisons que le déterminant de la matrice Jacobienne
de ce changement de variable vaut 1 (
). Sachant que:
Nous en déduisons pour Eq.8.3 en permutant l'ordre des intégrations,
|
(7.4) |
Regardons de plus près ce que représente l'intégration sur les .
Nous pouvons considérer l'intégrale (Eq.8.4) comme une
somme vectorielle de complexes
(Fig.8.3.a). Notons que le changement de signe de
fait basculer la phase. Considérons alors les cas suivants:
Figure 8.3:
Principe de phase stationnaire.
[représentation du complexe
.]
|
[Cas où et varient rapidement.]
|
[Cas où seul varie.]
|
[Cas où et varient lentement.] |
|
|
|
|
-
et
varient rapidement.(Fig.8.3.b)
Dans ce cas, on ne peut pas dire grand chose et l'intégrale doit
être calculée explicitement.
- Seul
varie et
reste relativement constant
(Fig.8.3.c). Dans ce cas, comme l'argument change vite, le
vecteur représentatif de
tourne rapidement. La somme
vectorielle (c'est-à-dire ) de tous ces est globalement
proche de zéro. Les vecteurs sont orientés de tous les sens mais ont la même
norme. La contribution finale est minime et est proche de 0.
- Si
et
varient lentement et même à la limite
sont constants (Fig.8.3.d), alors tous les vecteurs se retrouvent
confinés dans une petite région (la phase tourne peu) et pointent dans la même
direction (il n'y a pas de changement de signe donc pas de changement de phase).
Alors, l'ensemble des éléments
agissent dans le même
sens et contribuent fortement à la somme.
Ainsi, en faisant l'hypothèse que la fonction est relativement lisse,
donc qu'elle varie peu, du moins par rapport à la variation de la phase, nous
pouvons dire que les contributions à l'intégrale proviennent principalement
des endroits où la phase est stationnaire. Cette propriété correspond justement
au théorème de phase stationnaire [26].
Il s'agit donc de trouver les qui rendent cette phase stationnaire.
Pour cela, on cherche angles de vues pour lesquels
.
Notons que lorsque
,
il y a deux solutions dans l'intervalle . Nous avons alors:
Cette propriété, constatée par Edholm, est remarquable. Sur la figure Fig.8.4.a,
nous avons représenté la variation de la phase
et de sa dérivée
. Nous allons regarder la contribution à
l'intégrale des appartenant soit à ,
soit à
Le premier intervalle correspond à des valeurs de
qui rendent la dérivée de la phase maximale. Le deuxième, à des
qui donnent une variation de phase proche de . On constate dans le premier
cas illustré Fig.8.4.b. que les vecteurs
échantillonnent régulièrement le cercle unité. On retrouve le cas décrit Fig.8.3.c.
La contribution de cet intervalle est donc négligeable. En revanche, sur le
deuxième intervalle (phase stationnaire), les vecteurs
sont confinés sur une petite portion du cercle unité (Fig.8.4.c),
on retrouve donc le cas décrit Fig.8.3.d. La contribution
de cet intervalle va donc être prépondérante.
Figure 8.4:
Phase stationnaire pour l'algorithme Fore.
|
|
|
[Expression de
(vert) et de sa dérivée (bleu) quand
]
|
[Vecteur
lorsque
]
|
[Vecteur
lorsque
]
|
Ainsi, les 2 points qui contribuent dans l'espace de Fourier au sinogramme
sont situés sur la LOR à la distance
.
En pratique, le sinogramme intègre l'information sur de multiples LOR.
Cette relation de distance fréquentielle établit que toute valeur de
de fréquence
reçoit principalement
des contributions de points situés à une distance
sur les LOR.
Cette approximation peut en quelque sorte être vue comme un temps de
vol virtuel [29].
En appliquant ce théorème de phase stationnaire à notre équation (Eq.8.4),
i.e. en remplaçant le troisième argument de et en sortant ce terme
de l'intégrale nous obtenons:
|
(7.5) |
Comme ce troisième argument ne dépend ni de , ni de , il n'est
donc pas affecté par le changement de variable que nous avons effectué. Autrement
dit, si je calcule
,
j'obtiens exactement la même expression que 8.5, c'est à dire la
clé de voûte de l'algorithme FORE:
|
(7.6) |
Au vu des angles utilisés, on peut en première approximation considérer
le cosinus de cet angle comme égal à l'unité. En conséquence, nous pouvons légèrement
simplifier l'Eq.8.6 qui devient:
|
(7.7) |
Cette expression correspond vraiment au coeur de l'algorithme FORE puisqu'elle
nous permet de passer d'une acquisition 3D fournissant un sinogramme à 4 dimensions
(membre de gauche de l'Eq.8.7) en un sinogramme fictif qui
proviendrait d'une acquisition 2D ne comptant donc plus qu'une seule inclinaison
(la variable est constamment nulle dans le membre de droite de
l'Eq.8.7). Ce sinogramme fictif intègre donc bien les données
issues des différents segments dans des plans transaxiaux. Ces données sont
intégrées à une hauteur particulière (
)
dans le sinogramme fictif. Nous pouvons donc directement en déduire un algorithme.
Elle se traduit par l'utilisation de l'Eq.8.7 dans laquelle
nous cherchons à construire le sinogramme fictif correspondant
à une acquisition 2D. Lorsqu'il décrit le principe de cet algorithme, Defrise
montre qu'il est nécessaire de considérer différemment certaines régions de
l'espace de Fourier associées à et . Nous renvoyons le
lecteur à l'article fondateur pour ne conserver que le cas général [29].
L'algorithme correspondant à l'Eq.8.7 est donné Alg.2.
7.3.2 FOurier Simple Averaging (FOSA).
En reconstruction, du fait du théorème de coupe-tranche, nous savons que les
projections échantillonnent de manière particulière l'espace de Fourier de l'objet
à reconstruire. Ainsi, dès 1981, Stark [87] propose en 2D une reconstruction
qui s'appuie sur ce théorème. L'idée est de prendre la transformation de Fourier
2D des projections
, d'affecter par interpolation
la valeur de chaque fréquence
ainsi
obtenue dans la grille de l'espace de Fourier de l'objet
et de faire la transformée de Fourier 3D inverse pour retrouver l'objet [89,90].
L'inconvénient majeur de cette méthode vient de l'interpolation nécessaire pour
passer des projections à l'espace de Fourier de l'objet. On considère en général,
une grille cartésienne pour tirer parti de la vitesse d'exécution des FFT. L'interpolation
des valeurs sur cette grille conduit à des distorsions de l'image. On trouve
donc différentes méthodes d'interpolation pour passer des projections à la grille
cartésienne: plus proches voisins, bilinéaires, sinus cardinal [75,88,87,94].
D'autres proposent des méthodes par transformation du système de coordonnées
[19]. C'est pourquoi, en nous arrêtant au rebinning nous évitons
ce passage à une grille cartésienne. Autrement dit, on va rebinner les
données dans l'espace de Fourier des projections en affectant les fréquences
au niveau des fréquences
issues d'un sinogramme ne présentant qu'un seul segment. Les angles
restant petits l'interpolation se fait entre 2 grilles voisines.
Sur la Fig.8.5.a, les plans de projection , ,
récoltent les photons pour 3 angles de vues différents sous l'inclinaison .
Il s'agit de plans de notre premier segment. Le plan intègre
les photons sous une inclinaison
.
Figure 8.5:
Passage des plans de projections dans l'espace de Fourier de l'objet
[Dans l'espace de l'objet.]
[Dans l'espace de Fourier.]
|
C'est l'information de ce plan que nous allons intégrer dans les plans du premier
segment. Pour cela, prenons la transformée de Fourier 2D suivant les variables
et de ces plans de projections. Nous obtenons les transformées
de nos 4 plans de projection
,
,
,
. Du fait du théorème de section centrale, ces derniers échantillonnent
l'espace de Fourier comme sur la Fig.8.5.b. Considérons un point
particulier
de la
transformée de Fourier 2D
d'un plan de détecteurs incliné.
De manière générale, ce point est ``coincé'' entre les transformées de
deux plans du premier segment. Sur notre figure, il s'agit des plans
et
. Ces plans sont échantillonnés. Le point est
donc situé dans un héxaèdre formé par les 8 échantillons fréquentiels les plus
proches de
et
(Fig.8.6).
Figure 8.6:
Interpolation dans l'espace de Fourier.
|
On envisage donc l'algorithme (Alg.3) suivant pour rebinner
les données.
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Lecomte Jean François
2002-09-07