8.3 Terme d'attache aux données: le Modèle Gaussien.

Nous venons de voir le contexte envisagé pour l'introduction d'information a priori dans la reconstruction . Or, l'objectif reste néanmoins de reconstruire une image connaissant ses projections. Il faut donc établir la fonctionnelle $J_{1}$ traduisant la similarité entre des projections calculées en accord avec un modèle linéaire (Eq.9.1) et les projections vraies issues de la caméra. Dans ce système:

$$\hat{\mathbf{p}}=\mathbf{H}\mathbf{f}$$

où le vecteur $\mathbf{f}$ représentatif de l'image correspond au $N$ composantes $\{f\}_{n}$ de notre image dans la base de représentation choisie. Le vecteur $\hat{\mathbf{p}}$ de dimension $M$ représente, quant à lui, les projections que nous pouvons calculer, partant de notre image $\mathbf{f}$, en accord avec notre modèle linéaire. La matrice $\mathbf{H}$ traduit la modélisation de la projection (problème décrit dans la première partie de cette thèse). En effet, $H_{mn}$ représente la probabilité pour que la composante $f_{n}$ de l'image soit détectée au niveau du détecteur indexé par $m$. Cette matrice se construit grâce à la modélisation du problème direct (nous verrons son implémentation Ch.10). La fonctionnelle, qui doit nous conduire au choix d'une image $\mathbf{f}$, s'appuie sur la différence existant entre $\hat{\mathbf{p}}$ et $\mathbf{p}$.

$$J_{1}(\mathbf{f})=\zeta (\hat{\mathbf{p}},\mathbf{p})$$

$\zeta$ est donc une fonction de mesure de similarité . Cette fonction de similarité dépend du modèle de bruit envisagé. Nous allons maintenant uniquement décrire la reconstruction algébrique s'appuyant sur un bruit de nature gaussienne. Ce modèle conduit à une mesure de similarité basée sur la distance. Même si elles existent, des mesures de similarités plus exotiques, comme celle basée sur l'entropie [5], ne sont pas décrites ici. Il existe encore à ce niveau de multiples degrés de liberté. Nous donnons également en Annexe (Ch:B) l'approche basée sur le modèle poissonnien. Ce modèle conduit à un algorithme de reconstruction OSEM-OSL décrit dans le même chapitre.

Attardons nous sur le modèle gaussien. . On pose que les projections réelles $\mathbf{p}$ correspondent aux projections calculées $\hat{\mathbf{p}}$ corrompues par un bruit additif gaussien $\mathbf{b}$ de matrice de variance-covariance $\Gamma _{\mathbf{b}}$ dépendante des projections:

$$\mathbf{p}=\hat{\mathbf{p}}+\mathbf{b}$$

La fonction de similarité revient alors à mesurer la distance entre les projections calculées et réelles.

$$J_{1}(\mathbf{f})=d(\mathbf{p},\hat{\mathbf{p}})$$

Si on considère la distance pondérée par la matrice de variance-covariance du bruit, on obtient une mesure de similarité basée sur la distance de Mahalanobis.

$$J_{1}(\mathbf{f})=(\mathbf{p}-\hat{\mathbf{p}})^{t}\Gamma ^{-1}_{\mathbf{b}}(\mathbf{p}-\hat{\mathbf{p}})$$

où $^{t}$ traduit la transposée. Pour réduire le champ d'investigation et faciliter le calcul de la distance, on peut ensuite faire des hypothèses sur la nature du bruit et plus précisément sur la matrice de variance-covariance. Fessler [34] envisage une matrice $\Gamma _{\mathbf{b}}$ qui est diagonale et dont les éléments diagonaux $\{\sigma ^{2}_{b}\}_{m}\vert _{m=1,M}$ représentent les variances attachées aux projections $p_{m}$. Il donne dans son article l'expression pour le calcul de ces variances. Dans le cas où tous les $\{\sigma ^{2}_{b}\}_{m}$ sont égaux à $\sigma ^{2}_{b}$, le bruit additif est considéré comme blanc et la distance de Mahalanobis devient une simple distance euclidienne:

$$J_{1}(\mathbf{f}) = \frac{1}{\sigma ^{2}_{b}}(\mathbf{p}-\hat{\mathbf{p}})^{t}(\mathbf{p}-\hat{\mathbf{p}})$$

$$= \frac{1}{\sigma ^{2}_{b}}\vert\vert\mathbf{p}-\hat{\mathbf{p}}\vert\vert^{2}$$