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Nous venons de voir le contexte envisagé pour l'introduction d'information a
priori dans la reconstruction . Or, l'objectif reste néanmoins de reconstruire
une image connaissant ses projections. Il faut donc établir la fonctionnelle
traduisant la similarité entre des projections calculées en accord
avec un modèle linéaire (Eq.9.1) et les projections vraies issues
de la caméra. Dans ce système:
où le vecteur
représentatif de l'image correspond au
composantes
de notre image dans la base de représentation choisie. Le vecteur
de dimension
représente, quant à lui, les projections
que nous pouvons calculer, partant de notre image
, en accord avec
notre modèle linéaire. La matrice
traduit la modélisation
de la projection (problème décrit dans la première partie de cette thèse). En
effet,
représente la probabilité pour que la composante
de l'image soit détectée au niveau du détecteur indexé par
. Cette matrice
se construit grâce à la modélisation du problème direct (nous verrons son implémentation
Ch.10). La fonctionnelle, qui doit nous conduire au choix
d'une image
, s'appuie sur la différence existant entre
et
.
est donc une fonction de mesure de similarité .
Cette fonction de similarité dépend du modèle de bruit envisagé. Nous allons
maintenant uniquement décrire la reconstruction algébrique s'appuyant sur un
bruit de nature gaussienne. Ce modèle conduit à une mesure de similarité basée
sur la distance. Même si elles existent, des mesures de similarités plus exotiques,
comme celle basée sur l'entropie [5], ne sont pas décrites ici.
Il existe encore à ce niveau de multiples degrés de liberté. Nous donnons également
en Annexe (Ch:B) l'approche basée sur le modèle poissonnien.
Ce modèle conduit à un algorithme de reconstruction OSEM-OSL
décrit dans le même chapitre.
Attardons nous sur le modèle gaussien. . On pose que
les projections réelles
correspondent aux projections calculées
corrompues par un bruit additif gaussien
de matrice de variance-covariance
dépendante des
projections:
La fonction de similarité revient alors à mesurer la distance entre les projections
calculées et réelles.
Si on considère la distance pondérée par la matrice de variance-covariance du
bruit, on obtient une mesure de similarité basée sur la distance de Mahalanobis.
où
traduit la transposée. Pour réduire le champ d'investigation
et faciliter le calcul de la distance, on peut ensuite faire des hypothèses
sur la nature du bruit et plus précisément sur la matrice de variance-covariance.
Fessler [34] envisage une matrice
qui
est diagonale et dont les éléments diagonaux
représentent les variances attachées aux projections
. Il donne
dans son article l'expression pour le calcul de ces variances. Dans le cas où
tous les
sont égaux à
,
le bruit additif est considéré comme blanc et la distance de Mahalanobis devient
une simple distance euclidienne:
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Lecomte Jean François
2002-09-07