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Du sinogramme à l'Image: La Reconstruction

A côté des reconstructions analytiques qui envisagent la reconstruction par l'inversion de la projection dans un contexte continu, on trouve des méthodes algébriques qui posent comme base une fonctionnelle J(f), où f est un tableau de coefficients qui décrit totalement la distribution radioactive que l'on cherche à estimer. Le volume f, dans notre cas, est un ensemble de voxels (éléments parallelépipédiques de volume). A chaque voxel est associée une valeur représentative de l'activité radioactive sur ce parallelépipède. La reconstruction consiste à trouver l'image f qui minimise la fonctionnelle J. Celle ci se décompose en deux :

La construction du premier terme s'appuie sur notre modélisation de l'opération de projection. En effet, celle-ci associe à toute image f un jeu de projections tex2html_wrap_inline238 . Le terme tex2html_wrap_inline232 va donc caractériser la distance ou la similarité entre cette projection calculée et un jeu de projections p issues d'un examen. Dans nos travaux, nous envisageons la distance euclidienne, ce qui revient à minimiser tex2html_wrap_inline244 au sens des moindres carrés ( tex2html_wrap_inline246 ). Du fait du mauvais conditionnement du système, la fonctionnelle construite sur le seul terme tex2html_wrap_inline244 n'est pas suffisante. On introduit donc une fonctionnelle tex2html_wrap_inline250 qui intègre des informations à priori sur le système. On considère que le volume à reconstruire correspond à des zones homogènes séparées par des bords francs (discontinuités). De ce fait, on n'utilise pas directement tex2html_wrap_inline250 mais tex2html_wrap_inline254 . tex2html_wrap_inline254 , qui contient l'information relative aux discontinuités, est une fonctionnelle qui ne dépend pas uniquement de f mais aussi d'une variable b, processus de ligne, qui sert à marquer les discontinuités (Fig:4(c)). Cette variable b définit un nouveau critère tex2html_wrap_inline264 , de domaine plus étendu que J, mais ayant le même minimum. Minimiser J(f) est donc équivalent à minimiser tex2html_wrap_inline270 . On minimise donc :

displaymath272

où tex2html_wrap_inline274 représente le poids accordé à la régularisation vis à vis des données. L'algorithme[1][2] que nous utilisons consiste donc en une minimisation alternée sur les deux variables b et f. De plus, on montre qu'à l'étape n, tex2html_wrap_inline282 étant fixé, on peut calculer directement les discontinuités b de l'itération n+1. tex2html_wrap_inline288 étant fixé, la nouvelle estimée tex2html_wrap_inline290 ne s'obtient pas explicitement en fonction de tex2html_wrap_inline282 et de tex2html_wrap_inline288 , mais par une minimisation d'énergie. En d'autres termes, il est nécessaire de résoudre un système d'équations (équations normales associées à tex2html_wrap_inline264 ) pour obtenir la nouvelle estimée. Cette résolution est effectué par une méthode de type gradient conjugué[3]. D'où l'algorithme :

tex2html_wrap_inline298 Initialise tex2html_wrap_inline300 .

-14mm[0mm][0mm] Répéter
tex2html_wrap_inline298 Calculer tex2html_wrap_inline304 avec tex2html_wrap_inline306
tex2html_wrap_inline298 Résolution des équations normales tex2html_wrap_inline310
Jusqu'à convergence

   figure63
Figure 3: Abaque obtenue par moyennage de 5 FDM pour 500 reconstructions. Plus la valeur est proche de 1, plus la valeur du couple tex2html_wrap_inline186 est intéressante. La meilleur couple (33, 0.02) estimé est représenté par le point A sur la figure. Tous les couples choisis dans la région orangée voisine de A fournissent une excellente reconstruction.

Dans cet algorithme, tex2html_wrap_inline320 est la dérivée de la fonction de pondération de Green[4]. u représente le gradient sur le volume tex2html_wrap_inline324 normalisé par la hauteur des discontinuités tex2html_wrap_inline326 .

Cet algorithme de reconstruction nécessite donc le choix du couple de variable tex2html_wrap_inline186 .

Pour tester l'influence de ces 2 facteurs sur la reconstruction, on calcule un sinogramme bruité (simulateur) à l'aide d'un fantôme présentant deux régions uniformes (Fig:4(a)). On effectue ensuite 500 reconstructions avec pour chaque reconstruction un couple différent. Sur chaque volume reconstruit, on estime : la précision à retrouver le volume de chacune des 2 régions, la précision à retrouver les valeurs dans chacune des régions du fantôme initial, le contraste inter-régions. On moyenne, pour chaque couple , ces différentes Figures De Mérites (FDM). On obtient ainsi une abaque moyenne définissant la qualité de reconstruction en fonction des paramètres de la méthode (Fig:3).