5.3 Estimation des constantes.

Le modèle de bruit que nous avons retenu comporte principalement deux constantes $k_{1}$ et $k_{2}$. Pour bruiter un sinogramme calculé à l'aide de ce modèle, il est impératif de choisir ces constantes de manière judicieuse, pour que les propriétés des sinogrammes de bruit calculés $b^{p}_{b}$ et réels $b^{p}_{v}$ soient les plus proches possibles. On va procéder au choix de ces constante de manière séquentielle, en estimant d'abord $k_{1}$ puis $k_{2}$.

5.3.1 Constante de normalisation $k_{1}$.

Pour estimer $k_{1}$, on va chercher à minimiser la distance euclidienne entre les projections vraies $p_{v}(r,\theta )$ et la projection analytique $p_{n}(r,\theta )$, autrement dit

$$\begin{array}{cl} k_{1} & =argmin_{k}\left\Vert p_{v}(r,\the... ...{v}(r,\theta )-k\times p(r,\theta )\right\Vert ^{2} \end{array}$$

En effet,

$$p_{n}(r,\theta )=\int \int _{x,y}f_{n}(x,y)\Phi _{r,\theta }(x,y)... ...int _{x,y}k_{1}\times f(x,y)\Phi _{r,\theta }(x,y)dxdy=k_{1}\times p(r,\theta )$$

Nous obtenons donc pour le produit scalaire défini par :

$$\left\langle f(i,j),g(i,j)\right\rangle =\sum _{i}\sum _{j}f(i,j)g(i,j)$$

$$\left\Vert p_{v}(r,\theta )-k\times p(r,\theta )\right\Vert ^{2}=\sum _{r}\sum _{\theta }\left( p_{v}(r,\theta )-k\times p(r,\theta )\right) ^{2}$$

Ceci conduit tout simplement en développant à choisir :

$$k_{1}=\frac{\sum _{r}\sum _{\theta }p_{v}(r,\theta ).p(r,\theta )}{\sum _{r}\sum _{\theta }p^{2}(r,\theta )}$$

Suivant une écriture vectorielle, cette expression devient:

$$k_{1}=\frac{\sum ^{M}_{m=1}\{p\}_{m}\{p_{v}\}_{m}}{\sum ^{M}_{m=1}\{p\}^{2}_{m}}$$ (5.3)

5.3.2 Constante de bruit $k_{2}$.

5.3.2.1 Le sinogramme de bruit calculé.

Pour le modèle de bruit choisi, nous pouvons calculer un sinogramme de bruit par la différence entre les projections idéales et les projections d'un volume bruité normalisé.

$$b^{p}_{b} = p_{n}-p_{nb}$$

$$= \int \int _{x,y}f_{n}(x,y)\Phi _{r,\theta }(x,y)dxdy-\int \int _{x,y}f_{nb}(x,y)\Phi _{r,\theta }(x,y)dxdy$$

$$= \int \int _{x,y}[f_{n}(x,y)-f_{n}(x,y)+b_{n}(x,y)]\Phi _{r,\theta }(x,y)dxdy$$

$$= \int \int _{x,y}b_{n}(x,y)\Phi _{r,\theta }(x,y)dxdy$$ (5.4)

Nous voulons que les propriétés statistiques de ce bruit $b^{p}_{b}$ se rapprochent le plus possible de celles du sinogramme de bruit calculé par la différence entre les projections idéales et les projections issues d'un examen réel.

$$b^{p}_{v}=p_{n}-p_{v}$$

Le sinogramme $b^{p}_{b}$ se déduit du bruit $b_{n}$ sur le volume servant de fantôme par une série d'opérations linéaires. Comme le bruit $b_{n}$ est de nature gaussienne, le sinogramme suit également une loi gaussienne. Pour caractériser le bruit sur les projections, il est donc nécessaire de définir les premiers moments de la fonction aléatoire $b^{p}_{b}$.

5.3.2.2 Moyenne de $b^{p}_{b}$.

Pour cela, il suffit de calculer $I\! \! E[b^{p}_{b}]$ où $I\! \! E$ traduit l'espérance. En utilisant la définition Eq.6.4, nous obtenons:

$$I\! \! E[b^{p}_{b}]=\int \int _{x,y}I\! \! E[b_{n}(x,y)]\Phi _{r,\theta }(x,y)dxdy$$

Or, d'après les hypothèses faites sur le bruit $I\! \! E[b_{n}(x,y)]=0$(Eq.6.1), nous avons donc finalement :

$$I\! \! E[b^{p}_{b}]=0$$

Le sinogramme de bruit est centré.

5.3.2.3 Autocorrélation de $b^{p}_{b}$.

A ce niveau, nous introduisons la fonction d'autocorrélation du bruit $\Gamma _{b^{p}_{b}}(r_{1},r_{2},\theta _{1},\theta _{2})$ qui, comme le sinogramme de bruit est centré se réduit à:

$$\Gamma _{b^{p}_{b}}(r_{1},r_{2},\theta _{1},\theta _{2})=I\! \! E[b^{p}_{b}(r_{1},\theta _{1})\times b^{p}_{b}(r_{2},\theta _{2})]$$

Du fait de la définition du sinogramme de bruit calculé (Eq.6.4), nous obtenons pour l'autocorrélation:

$$\Gamma _{b^{p}_{b}}(r_{1},r_{2},\theta _{1},\theta _{2}) = I\! \! E\left[ \int \int _{x,y}b_{n}(x,y)\Phi _{r_{1},\theta _{1}... ...)dxdy\times \int \int _{u,v}b_{n}(u,v)\Phi _{r_{2},\theta _{2}}(u,v)dudv\right]$$

$$= I\! \! E\left[ \int \int _{x,y}\int \int _{u,v}b_{n}(x,y)b_{n}(u,v)\Phi _{r_{1},\theta _{1}}(x,y)\Phi _{r_{2},\theta _{2}}(u,v)dxdydudv\right]$$

$$= \int \int _{x,y}\int \int _{u,v}I\! \! E\left[ b_{n}(x,y)b_{n}(u,v)\right] \Phi _{r_{1},\theta _{1}}(x,y)\Phi _{r_{2},\theta _{2}}(u,v)dxdydudv$$

Nous avons Eq.6.1, l'expression de la variance du bruit, cela nous conduit à:

$$\Gamma _{b^{p}_{b}}(r_{1},r_{2},\theta _{1},\theta _{2}) = \int \int _{x,y}\int \int _{u,v}\sigma ^{2}_{b_{n}}(x,y)\delta (x-u,y-v)\Phi _{r_{1},\theta _{1}}(x,y)\Phi _{r_{2},\theta _{2}}(u,v)dxdydudv$$

$$= \int \int _{x,y}\int \int _{u,v}\sigma ^{2}_{b_{n}}(x,y)\Phi _{r_{1},\theta _{1}}(x,y)\Phi _{r_{2},\theta _{2}}(x,y)dxdy$$ (5.5)

5.3.2.3.1 Calcul de la variance

La variance du sinogramme de bruit est alors simplement donnée par:

$$\sigma _{b^{p}_{b}}^{2}(r,\theta )=\Gamma _{b^{p}_{b}}(r,\theta )=\int \int _{x,y}\sigma _{b_{n}}^{2}(x,y)\Phi ^{2}_{r,\theta }(x,y)dxdy$$ (5.6)

La définition de la fonction caractéristique $\Phi$ nous permet d'écrire simplement $\Phi ^{2}_{r,\theta }(x,y)=\Phi _{r,\theta }(x,y)$, et comme de plus, $\sigma _{b_{n}}=k_{2}\sqrt{f_{n}(x,y)}=k_{2}\sqrt{k_{1}.f(x,y)}$, l'Eq.6.6 devient:

$$\sigma ^{2}_{b^{p}_{b}}(r,\theta )=k_{1}k^{2}_{2}\int \int _{x,y}f(x,y)\Phi _{r,\theta }(x,y)dxdy=k_{1}k^{2}_{2}\times p(r,\theta )$$ (5.7)

En résumé, les deux premiers moments du bruit sont:

$$\left\{ \begin{array}{ll} I\! \! E\left[ b^{p}_{b}(r,\theta )\rig... ...}_{b}(r,\theta )\right] & =k_{1}k^{2}_{2}\times p(r,\theta ) \end{array}\right.$$ (5.8)

5.3.2.4 Remarque sur l'autocorrélation.

Le calcul effectué au paragraphe 6.3.2.3 n'est pas qu'un exercice de style, il permet de justifier à lui seul l'hypothèse (Par.6.2.2) qui nous conduit à bruiter le volume d'émission plutôt que le sinogramme obtenu par la projection de ce volume.

5.3.2.4.1 Autocorrélation d'un bruit invariant spatialement.

5.3.2.4.1.1 Calcul.

Restons dans le cas bidimensionnel et supposons que chaque couple de détecteurs (de largeur $a$) référencé par $(r,\theta )$ ne ``voit'' que les photons situés dans une bande de largeur $a$ (Fig. 6.1). La fonction $\Phi _{r,\theta }(x,y)$ vaut donc 1 uniquement si le pixel $(x,y)$ est compris dans cette bande.

Supposons d'abord que la variance du bruit sur le volume d'émission soit indépendante de la position $(x,y)$. Dans ce cas, et malheureusement seulement dans ce cas, il devient possible de sortir la variance du bruit de l'intégrale dans l'expression de la fonction d'autocorrélation. De ce fait, en posant $\sigma ^{2}_{b}(x,y)=\sigma ^{2}_{0}$, on obtient:

$$\Gamma _{b^{p}_{b}}(r_{1},r_{2},\theta _{1},\theta _{2})=\sigma ^... ...,y)\Phi _{r_{2},\theta _{2}}(x,y)dxdy}_{A(r_{1},r_{2},\theta _{1},\theta _{2})}$$

'intégration restante $A(r_{1},r_{2},\theta _{1},\theta _{2})$ correspond à la surface définie par l'intersection des deux fonctions caractéristiques $\Phi _{r_{1},\theta _{1}}$ et $\Phi _{r_{2},\theta _{2}}$. Dans notre exemple bidimensionnel, la corrélation suivant la première variable $r$ est triviale. Les bandes de détection sont disjointes, la corrélation pour $r_{1}\neq r_{2}$ est donc nulle. Intéressons nous plutôt à la corrélation suivant la deuxième variable, ou corrélation suivant l'angle de vue $\theta$. Le calcul de la surface d'intersection est relativement simple. On désigne par $\alpha =\theta _{2}-\theta _{1}$ la différence angulaire entre 2 vues. Sur la figure Fig.6.1

Figure: Corrélation entre les vues.

, pour une différence angulaire suffisamment grande, la surface d'intersection est égale à $a\times b$. On trouve dans ce cas que $b=\frac{a}{\vert\sin \alpha \vert}$. De fait la fonction d'autocorrélation est définie par:

$$\Gamma _{b^{p}_{b}}(r_{1},r_{2},\theta _{1},\theta _{2})=\sigma ^{2}_{0}\times \frac{a^{2}}{\vert\sin (\theta _{2}-\theta _{1})\vert}$$

Pour des angles $\alpha$ petits et proches de 0, cette expression de la fonction d'autocorrélation tend vers l'infini. En fait, pour cela il faudrait que les bandes sur lesquelles sont intégrés les photons soient infiniment longues. Or, ce n'est pas le cas, elles sont limitées au diamètre $2R$ d'une couronne de détecteurs. De fait, la fonction d'autocorrélation est bornée en 0.

$$\lim _{\alpha \rightarrow 0}\Gamma _{b^{p}_{b}}(r_{1},r_{2},\theta _{1},\theta _{2})=\sigma ^{2}_{0}\times 2Ra$$

On représente Fig.6.2, le comportement de cette fonction d'autocorrélation pour une différence angulaire suffisamment grande.

Figure: Profil d'autocorrélation calculé

5.3.2.4.1.2 Illustration.

Pour vérifier ce calcul, nous allons prendre 2 fantômes correspondant à 2 volumes géométriquement différents:

• un parallélépipède (Volume $_{1}f$) de dimensions $10\times 10\times 10$ voxels de $2.125\times 2.125\times 1.25\, mm^{3}$, d'amplitude $10$, situé dans un coin du volume.
• un ellipsoïde (Volume $_{2}f$) de dimensions $80\times 80\times 80$ voxels de $2.125\times 2.125\times 1.25\, mm^{3}$, d'amplitude $10$ situé au centre du volume.

Ces volumes originaux vont être bruités par l'addition d'un bruit blanc gaussien dont l'écart type est indépendant du signal présent dans le volume. On effectue pour chaque voxel de chaque volume, un tirage aléatoire. Les voxels du fond ne présentant pas de signal sont également bruités. Partant des volumes non bruités, on calcule les sinogrammes $_{1}p$ et $_{2}p$ à partir des volumes bruités, on calcule les sinogrammes $_{1}p_{b}$ et $_{2}p_{b}$. Cela nous permet, par différence, d'estimer les sinogrammes de bruit $_{1}b^{p}_{b}$ et $_{2}b^{p}_{b}$. Sur le premier segment de ces sinogrammes de bruit, on va déterminer le profil d'autocorrélation au centre du sinogramme suivant les angles de vues $\theta$ (mesure globale par l'utilisation des FFT). Les profils correspondant à chacun de ces 2 cas sont illustrés Fig.6.3.

Figure: Autocorrélation avec un bruit additif gaussien indépendant du signal

[Parallélépipède]	[Ellipsoïde]

Sur ces figures, il faut d'abord constater que les profils d'autocorrélation ont une forme semblable à celui obtenu lors du calcul théorique (Fig.6.2). D'autre part, et c'est là le point essentiel, les profils sont identiques pour chacun des deux volumes. En effet, dans le cas d'un bruit indépendant du signal, nous avons montré que la corrélation entre les vues était uniquement liée à la géométrie d'acquisition. Or cette dernière est la même pour le calcul des projections des deux volumes.

5.3.2.4.1.3 Autocorrélation d'un bruit variant spatialement.

Malheureusement pour nous, la statistique d'émission est de nature poissonnienne où, comme nous l'avons supposé, gaussienne dépendante du signal dans le volume. Il n'est donc plus possible de sortir $\sigma _{b_{n}}(x,y)$ de l'intégrale Eq.6.5. Cette dernière n'étant pas indépendante de la position $(x,y)$. Reprenons alors nos deux volumes $_{1}f$ et $_{2}f$ non bruités. Cette fois ci, pour obtenir les volumes bruités $_{1}f_{b}$ et $_{2}f_{b}$, nous effectuons un tirage poissonnien en chaque voxel. Ainsi, seuls les voxels non nuls (ceux du parallélépipède pour $_{1}f$ et ceux de l'ellipsoïde pour $_{2}f$) sont bruités. Le fond reste nul. Nous procédons comme précédemment pour obtenir les deux sinogrammes de bruit $_{1}b^{p}_{b}$ et $_{2}b^{p}_{b}$ et nous calculons les profils d'autocorrélation suivant les angles de vues (Fig.6.4).

Figure: Autocorrélation avec un bruit additif gaussien dépendant du signal

[Parallélépipède]	[Ellipsoïde]

Nous constatons, dans ce cas, des profils nettement différents. Plus le volume est grand (la taille de l'ellipsoïde est plus grande que celle du parallélépipède), plus le profil d'autocorrélation rejoint celui obtenu pour un bruit indépendant du signal (le profil d'autocorrélation du bruit pour l'ellipsoïde donné Fig.6.4.b ressemble plus au profil théorique que celui du parallélépipède donné Fig.6.4.a).

Ainsi, la projection induit, sur le sinogramme de bruit, une variabilité sur la corrélation qui est fonction non seulement de la géométrie d'acquisition mais également de l'objet à imager.

Cela exclut la possibilité de modéliser le bruit directement sur les projections et explique le choix que nous avons fait de bruiter les volumes avant la projection.