Nous disposons maintenant de tous les éléments pour construire un sinogramme de manière analytique. Il reste à confronter ce modèle avec un sinogramme réel issu d'une acquisition afin d'en estimer les paramètre et .
Pour cela, nous avons utilisé le fantôme d'Hoffman 3D disponible à CYCERON. Ce fantôme est un cylindre en plexiglas contenant 19 tranches évidées afin de recevoir un liquide radioactif (Fig.6.5)
. La forme de chacune des découpes se rapproche de celle observé dans des coupes axiales de cerveau. Chacune des tranches fait 6.09 mm d'épaisseur. Afin de n'utiliser qu'un seul liquide radioactif pour remplir le fantôme, chacune de ces tranches est subdivisée en 5 sous-tranches (2 de 0.762mm et 3 de 1.524mm). Cette subdivision permet en remplissant le fantôme d'obtenir 2 niveaux de radioactivité pour différencier la substance blanche (SB) de la substance grise (SG) dans un ratio . Ce ratio est en accord avec le ratio des activités biochimiques de chacune de ces deux substances. Le fantôme a une capacité d'environ 1150 . Pour réaliser un examen, on produit une solution aqueuse contenant du Fluor radioactif. On remplit ce cylindre avec cette substance en ayant au préalable ajouté un solvant pour que la solution se répartisse uniformément à l'intérieur du cylindre. La solution contient mCi de Fluor. Le fantôme ayant été agité afin d'uniformiser la répartition de la radioactivité, nous commençons l'acquisition 22 minutes après la création de notre traceur fluoré. Pour ce fantôme, nous allons réaliser 10 acquisitions (10 Frames). Les 5 premières frames enregistrent chacune 130 Millions (M) de coups. Il s'agit des évènements vrais, les fortuits ayant été supprimés de manière dynamique durant l'acquisition. Les 5 dernières frames ne comportent que 20 M de coups. On attend que le fantôme ne soit plus radioactif pour lancer une transmission. Des études ont montré que le nombre de coups minimum d'un examen de transmission donnant une correction d'atténuation correcte est de 130M. Dans notre cas, 260M de coups ont été acquis pour réaliser la transmission. Par un jeu de sommation de frames , on obtient une série de sinogrammes indépendants couvrant une large gamme de nombre de coups. Ces sinogrammes sont ensuite corrigés à l'aide des outils disponibles sur la caméra ECAT HR+. Nous obtenons ainsi une série de 10 sinogrammes (Tab.6.1)
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Nous disposons également d'une version numérique du fantôme. Il s'agit d'un
volume qui présente deux classes pour chacune des 2 substances
( et ) présentant respectivement et
voxels. Les valeurs de chacune de ces deux substances sont dans le ratio
,
où représente la valeur moyenne sur la classe considérée. Seul le
ratio nous importe puisque c'est par la détermination de la constante (Par.6.3.1)
que nous normalisons les projections calculées et donc notre volume par rapport
aux projections vraies. Cependant la valeur de la constante est
liée aux valeurs affectées à chacune des deux classes. Si je choisis un fantôme
d'activité double pour la projection, la constante sera divisée
par deux. C'est pourquoi par la suite les valeurs des constantes
seront données pour des valeurs du fantômes choisies en accord avec Tab.6.2.
Le fait de recaler le fantôme va induire des interpolations dans le volume (rotations
et homothéties notamment). C'est pourquoi, même si le fantôme comporte intrinsèquement
toujours 2 classes, il présentera par endroits des valeurs différentes de
et . Nous allons donc définir une notion de région [16].
Un voxel 5.3 de l'image est considéré comme appartenant à la région si sa valeur
et si un certain
nombre de voxels de son voisinage sont dans le même intervalle de valeurs.
représente une certaine tolérance par rapport à la moyenne. De ce fait, il est
nécessaire en plus de la moyenne sur la région de définir la variance
sur cette région. Les valeurs pour le fantôme recalé sont consignées
dans les tableau Tab.6.3.
A l'aide d'un des sinogrammes issu de Tab.6.1 d'une part et du fantôme numérique recalé, nous pouvons construire les sinogrammes de bruit et . La démarche pour les obtenir est illustrée Fig.6.6
. La projection analytique de (fantôme normalisé) nous fournit le sinogramme idéal qui nous servira de référence. Pour construire le sinogramme de bruit, nous bruitons en accord avec Par.6.2.2. Ce fantôme bruité est projeté pour obtenir un sinogramme bruité . Nous pouvons maintenant construire nos sinogrammes de bruits comme définis Par.6.3.2.1.
A titre de première illustration, nous allons déterminer les constantes et pour un des sinogrammes de Tab.6.1. Nous allons le faire pour le sinogramme présentant 260 M de coups (). La détermination de la constante ne pose aucun problème, elle s'obtient directement grâce à Eq.6.3. Il faut noter toutefois que cette valeur de constante est totalement dépendante des valeurs présentes dans le fantôme. Cette constante est relative au fantôme décrit dans Tab.6.3. La détermination de la constante pose plus de problèmes. Nous allons donc la déterminer graphiquement. Pour différentes valeurs de cette constante, on calcule 10 plans de projections du sinogramme de bruit . Ces plans correspondent à 10 directions de projections contenues dans le plan transaxial (10 valeurs de pour ). Nous obtenons valeurs du sinogramme de bruit à comparer aux valeurs de prises pour les mêmes plans. Pour la comparaison, nous allons d'abord normaliser chacune de ces deux portions de sinogramme. D'après l'Eq.6.8, nous avons sur le sinogramme de bruit un bruit gaussien de variance en 3D égale à
Pour comparer les sinogrammes de bruit empiriques et calculés par un test du , il est nécessaire de déterminer les histogrammes. Ces deux histogrammes comportent chacun classes. Le nombre de classes est fonction du nombre d'échantillons choisis dans les sinogrammes de bruit et donc de . La similarité entre ces deux histogrammes est alors mesurée par le critère défini par:
Une autre façon de comparer les deux distributions ne nécessitant pas un calcul d'histogramme passe par l'utilisation d'une statistique de Kolmogorov-Smirnov. On considère dans ce cas le sinogramme de bruit sous une forme unidimensionnelle. Nous avons échantillons de nos distributions et . Des estimateurs non biaisés des fonctions de répartition de ces deux densités de probabilité et peuvent être construits. Ces fonctions de répartition donnent la fraction de valeurs situées à gauche de . Le test de KS se base sur l'écart maximal observé entre ces fonctions de répartitions empiriques. En effet, deux distributions différentes conduiront à des fonctions de repartition différentes. Sous l'hypothèse (les deux séries d'échantillons observées proviennent de la même distribution), nous construisons la statistique suivante:
Pour les valeurs optimales des constantes et , les histogrammes des deux sinogrammes de bruit sont donnés Fig.6.11.
D'autre part, on donne Fig.6.12 une illustration des sinogrammes de bruit calculés et réels pour un même plan . Même si les valeurs de bruit se distribuent sensiblement de la même manière (histogrammes voisins), la figure Fig.6.12
[Sinogramme ] | [Sinogramme ] |
Nous avons montré précédemment que la corrélation suivant les angles de vues dépendait de la géométrie d'acquisition ainsi que du volume émetteur. Il en va évidemment de même pour les angles d'inclinaison . En revanche, nous avions supposé que les fonctions caractéristiques correspondaient à des portions disjointes de l'espace lorsqu'on se déplacait en où en . Au moment de l'acquisition, nous avons un entrelaçage des vues, et une valeur d'écartement nous permet de regrouper différentes lignes de coïncidences au sein d'une même valeur de . L'ensemble de ces techniques liées à l'acquisition vont induire une corrélation suivant les variables et . Ces techniques (entrelaçage, brassage, écartement) ont été prises en compte dans le calcul de notre sinogramme. Nous voulons donc voir si ces éléments suffisent à expliquer la corrélation suivant ces deux directions sur le sinogramme observé. Nous allons calculer les images d'autocorrélation 2D de chacun des 10 plans . Nous moyennons ensuite tous ces images 2D d'autocorrélation pour obtenir une image d'autocorrélation moyenne. D'autre part, le fait de moyenner les différentes images de corrélation obtenues pour chaque plan considéré nous fait perdre la variabilité de ces images en fonction de l'angle de vue. Mais, il s'agit ici de déterminer si globalement suivant les directions portées par et , les corrélations entre sinogramme calculé et sinogramme réel sont les mêmes. Le moyennage a donc un sens puisque dans les deux cas, le fantôme utilisé est le même et la géométrie d'acquisition est la même. Sur la figure Fig.6.13