5.4 Confrontation du Modèle avec une Acquisition.

5.4.1 Mode opératoire.

Nous disposons maintenant de tous les éléments pour construire un sinogramme de manière analytique. Il reste à confronter ce modèle avec un sinogramme réel issu d'une acquisition afin d'en estimer les paramètre $k_{1}$ et $k_{2}$.

5.4.1.1 Acquisition d'un fantôme.

Pour cela, nous avons utilisé le fantôme d'Hoffman 3D disponible à CYCERON. Ce fantôme est un cylindre en plexiglas contenant 19 tranches évidées afin de recevoir un liquide radioactif (Fig.6.5)

Figure: Fantôme Hoffman 3D

. La forme de chacune des découpes se rapproche de celle observé dans des coupes axiales de cerveau. Chacune des tranches fait 6.09 mm d'épaisseur. Afin de n'utiliser qu'un seul liquide radioactif pour remplir le fantôme, chacune de ces tranches est subdivisée en 5 sous-tranches (2 de 0.762mm et 3 de 1.524mm). Cette subdivision permet en remplissant le fantôme d'obtenir 2 niveaux de radioactivité pour différencier la substance blanche (SB) de la substance grise (SG) dans un ratio $\frac{2\times 0.762}{2\times 0.762+3\times 1.524}=\frac{1}{4}$. Ce ratio est en accord avec le ratio des activités biochimiques de chacune de ces deux substances. Le fantôme a une capacité d'environ 1150 $cm^{3}$. Pour réaliser un examen, on produit une solution aqueuse contenant du Fluor radioactif. On remplit ce cylindre avec cette substance en ayant au préalable ajouté un solvant pour que la solution se répartisse uniformément à l'intérieur du cylindre. La solution contient $2.35\pm 15\%$ mCi de Fluor. Le fantôme ayant été agité afin d'uniformiser la répartition de la radioactivité, nous commençons l'acquisition 22 minutes après la création de notre traceur fluoré. Pour ce fantôme, nous allons réaliser 10 acquisitions (10 Frames). Les 5 premières frames enregistrent chacune 130 Millions (M) de coups. Il s'agit des évènements vrais, les fortuits ayant été supprimés de manière dynamique durant l'acquisition. Les 5 dernières frames ne comportent que 20 M de coups. On attend que le fantôme ne soit plus radioactif pour lancer une transmission. Des études ont montré que le nombre de coups minimum d'un examen de transmission donnant une correction d'atténuation correcte est de 130M. Dans notre cas, 260M de coups ont été acquis pour réaliser la transmission. Par un jeu de sommation de frames , on obtient une série de sinogrammes indépendants couvrant une large gamme de nombre de coups. Ces sinogrammes sont ensuite corrigés à l'aide des outils disponibles sur la caméra ECAT HR+. Nous obtenons ainsi une série de 10 sinogrammes (Tab.6.1)

Table 6.1: Nombre de coups dans les sinogrammes.

Sinogramme	$_{1}p_{v}$	$_{2}p_{v}$	$_{3}p_{v}$	$_{4}p_{v}$	$_{5}p_{v}$	$_{6}p_{v}$	$_{7}p_{v}$	$_{8}p_{v}$	$_{9}p_{v}$	$_{10}p_{v}$
Nb de coups(M)	20	40	60	80	100	130	260	390	520	650

prêts à être reconstruits.

5.4.1.2 Préparation du fantôme numérique.

Nous disposons également d'une version numérique du fantôme. Il s'agit d'un volume $_{H}f$ qui présente deux classes pour chacune des 2 substances ($B$ et $G$) présentant respectivement $N_{B}$ et $N_{G}$ voxels. Les valeurs de chacune de ces deux substances sont dans le ratio $\frac{\mu _{B}}{\mu _{G}}=\frac{1}{4}$, où $\mu$ représente la valeur moyenne sur la classe considérée. Seul le ratio nous importe puisque c'est par la détermination de la constante $k_{1}$(Par.6.3.1) que nous normalisons les projections calculées et donc notre volume par rapport aux projections vraies. Cependant la valeur de la constante $k_{1}$ est liée aux valeurs affectées à chacune des deux classes. Si je choisis un fantôme d'activité double pour la projection, la constante $k_{1}$ sera divisée par deux. C'est pourquoi par la suite les valeurs des constantes $k_{1}$ seront données pour des valeurs du fantômes choisies en accord avec Tab.6.2.

Table: Valeurs du fantôme.

$N_{B}$	$\mu _{B}$	$N_{G}$	$\mu _{G}$
27475	3200	35832	12800

Ce volume a une dimension $N_{z}=19$, où chaque plan (indice $k$) correspond à une des tranches du fantôme de Hoffman. A l'aide d'un sinogramme de Tab.6.1 de bonne qualité (i.e. présentant un grand nombre de coups), nous effectuons une reconstruction par rétroprojection filtrée (voir partie sur reconstruction). Nous obtenons ainsi un volume de $128\times 128\times 63$ voxels de dimensions $2.025\times 2.025\times 2.425\, mm^{3}$. Nous allons ensuite recaler notre fantôme numérique $_{H}f$ sur ce volume reconstruit afin de le positionner dans le référentiel de la caméra comme l'était le fantôme physique. Ce recalage nous permet aussi d'ajuster les dimensions des voxels de notre fantôme numérique. En effet, pour effectuer ce recalage nous utilisons l'algorithme AIR développé par R. Woods [100,99]. Cet algorithme nous permet d'ajuster 9 paramètres pour recaler le fantôme numérique dans l'espace de la caméra (3 rotations, 3 translations, 3 homothéties). C'est ce fantôme recalé $f$ qui nous servira de base pour la création de sinogrammes simulés.

5.4.1.2.1 Notion de région.

Le fait de recaler le fantôme va induire des interpolations dans le volume (rotations et homothéties notamment). C'est pourquoi, même si le fantôme comporte intrinsèquement toujours 2 classes, il présentera par endroits des valeurs différentes de $\mu _{B}$ et $\mu _{G}$. Nous allons donc définir une notion de région $R$ [16]. Un voxel $\{f\}_{n}$^5.3 de l'image est considéré comme appartenant à la région $R$ si sa valeur $\{f\}_{n}\in [\mu _{R}-\Delta _{R},\mu _{R}+\Delta _{R}]$ et si un certain nombre de voxels de son voisinage sont dans le même intervalle de valeurs. $\Delta _{R}$ représente une certaine tolérance par rapport à la moyenne. De ce fait, il est nécessaire en plus de la moyenne $\mu$ sur la région de définir la variance $\sigma$ sur cette région. Les valeurs pour le fantôme recalé sont consignées dans les tableau Tab.6.3.

Table: Valeurs du fantôme recalé.

$N_{B}$	$\mu _{B}$	$\sigma _{B}$	$\Delta _{R}$	$N_{G}$	$\mu _{G}$	$\sigma _{G}$	$\Delta _{R}$
36306	3200	560	2200	48498	12800	937	3800

5.4.1.3 Création des sinogrammes de bruit.

A l'aide d'un des sinogrammes issu de Tab.6.1 d'une part et du fantôme numérique recalé, nous pouvons construire les sinogrammes de bruit $b^{p}_{b}$ et $b^{p}_{v}$. La démarche pour les obtenir est illustrée Fig.6.6

Figure 6.6: Principe de construction des sinogrammes de bruit.

. La projection analytique de $f_{n}$ (fantôme normalisé) nous fournit le sinogramme idéal $p_{n}$ qui nous servira de référence. Pour construire le sinogramme de bruit, nous bruitons $f_{n}$ en accord avec Par.6.2.2. Ce fantôme bruité est projeté pour obtenir un sinogramme bruité $p_{nb}$. Nous pouvons maintenant construire nos sinogrammes de bruits comme définis Par.6.3.2.1.

5.4.2 Détermination expérimentale des constantes.

A titre de première illustration, nous allons déterminer les constantes $k_{1}$ et $k_{2}$ pour un des sinogrammes de Tab.6.1. Nous allons le faire pour le sinogramme présentant 260 M de coups ($_{7}p_{v}$). La détermination de la constante $k_{1}$ ne pose aucun problème, elle s'obtient directement grâce à Eq.6.3. Il faut noter toutefois que cette valeur de constante est totalement dépendante des valeurs présentes dans le fantôme. Cette constante est relative au fantôme décrit dans Tab.6.3. La détermination de la constante $k_{2}$ pose plus de problèmes. Nous allons donc la déterminer graphiquement. Pour différentes valeurs de cette constante, on calcule 10 plans de projections du sinogramme de bruit $b^{p}_{b}\vert _{k_{2}}$. Ces plans $\Pi _{\theta ,0}(r,s)$ correspondent à 10 directions de projections contenues dans le plan transaxial (10 valeurs de $\theta$ pour $\phi =0$). Nous obtenons $M_{10}=10\times 288\times 144$ valeurs du sinogramme de bruit $b^{p}_{b}\vert _{k_{2}}$ à comparer aux $M_{10}$ valeurs de $b^{p}_{v}$ prises pour les mêmes plans. Pour la comparaison, nous allons d'abord normaliser chacune de ces deux portions de sinogramme. D'après l'Eq.6.8, nous avons sur le sinogramme de bruit un bruit gaussien de variance en 3D égale à

$$\sigma _{b_{b}^{p}}^{2}(r,s,\theta ,\phi )=k_{1}k_{2}^{2}p(r,s,\theta ,\phi )$$ (5.9)

On normalise donc les deux portions de sinogrammes en divisant chacun des $M_{10}$ termes par $\sigma _{b_{b}^{p}}(r,s,\theta ,\phi )$. Les bruits obtenus devraient donc, en théorie suivre chacun une loi normale.

5.4.2.1 Critère du $\chi ^{2}$.

Pour comparer les sinogrammes de bruit empiriques et calculés par un test du $\chi ^{2}$, il est nécessaire de déterminer les histogrammes. Ces deux histogrammes comportent chacun $H_{M}$ classes. Le nombre de classes est fonction du nombre d'échantillons choisis dans les sinogrammes de bruit et donc de $M_{10}$. La similarité entre ces deux histogrammes est alors mesurée par le critère $\chi ^{2}$ défini par:

$$\chi ^{2}=\sum ^{H_{m}}_{h_{i}=1}\frac{[g(h_{i})\vert _{b^{p}_{b}... ...\vert _{b^{p}_{v}}]^{2}}{g(h_{i})\vert _{b^{p}_{b}}+g(h_{i})\vert _{b^{p}_{v}}}$$

où $g(h_{i})\vert _{b^{p}_{b}}$ représente le nombre de dexels du sinogramme de bruit $b^{p}_{b}$ qui sont comptés dans la classe $h_{i}$.^5.4 Pour chaque valeur de la constante $k_{2}$ une valeur de ce critère $\chi ^{2}$ peut être calculée. En traçant $\chi ^{2}=f(k_{2})$, nous cherchons sur la courbe la valeur de $k_{2}$ minimisant le critère $\chi ^{2}$. Pour le sinogramme $_{7}p_{v}$, nous obtenons les résultats illustrés Fig.6.7.

Figure 6.7: Courbe $\chi ^{2}=f(k_{2})$ pour le sinogramme $_{7}p_{v}$.

Il est facile sur cette courbe de déterminer la valeur optimale pour la variable $k_{2}$. Les valeurs optimales pour les deux constantes $k_{1}$ et $k_{2}$ correspondant à ce sinogramme particulier sont données Tab.6.4.

Table 6.4: Constante $k_{1}$ et $k_{2}$ du sinogramme $_{7}p_{v}$.

$k_{1}$	$1.17\times 10^{-4}$
$k_{2}$	$1.4\pm 0.1$

Pour donner une idée de la variation de la constante $k_{2}$, nous avons mémorisé les constantes $k_{2}$ sur chacun des $10$ plans de projections considérés. La moyenne de ces 10 constantes nous redonne la valeur optimale obtenue graphiquement sur la figure Fig.6.4 (linéarité de la moyenne). La variance de ces 10 valeurs nous permet de mettre un ordre de grandeur sur la variation de la constante autour de sa moyenne. A titre d'illustration, nous donnons les courbes analogues à celle obtenue Fig.6.7 pour 10 angles de vues $\theta$ particuliers (Fig.6.8).

Figure 6.8: $\chi ^{2}=f(k_{2})$ pour dix angles de vues $\theta$.

Sur cette dernière (Fig.6.8) sont également tracées 10 lignes d'isocontour (valeur constante de $\chi ^{2}$). On constate que pour suivre le fond de la vallée, i.e. pour suivre les valeurs optimales de $k_{2}$ relative à chaque direction, nous nous déplaçons plus ou moins sur une droite qui correspond à la valeur optimale de $k_{2}$ déjà mentionnée.

5.4.2.2 Test de Kolmogorov-Smirnov (KS).

Une autre façon de comparer les deux distributions ne nécessitant pas un calcul d'histogramme passe par l'utilisation d'une statistique de Kolmogorov-Smirnov. On considère dans ce cas le sinogramme de bruit sous une forme unidimensionnelle. Nous avons $M_{10}$ échantillons de nos distributions $\{b^{p}_{b}(m)\}_{m=1,M_{10}}$ et $\{b^{p}_{v}(m)\}_{m=1,M_{10}}$. Des estimateurs non biaisés des fonctions de répartition de ces deux densités de probabilité $S_{bM_{10}}(x)$ et $S_{vM_{10}}(x)$ peuvent être construits. Ces fonctions de répartition donnent la fraction de valeurs situées à gauche de $x$. Le test de KS se base sur l'écart maximal observé entre ces fonctions de répartitions empiriques. En effet, deux distributions différentes conduiront à des fonctions de repartition différentes. Sous l'hypothèse $H_{0}$ (les deux séries d'échantillons observées proviennent de la même distribution), nous construisons la statistique suivante:

$$D_{KS}=\max _{-\infty <x<\infty }\vert S_{bM_{10}}(x)-S_{vM_{10}}(x)\vert$$

Nous pouvons pour chaque valeur de la constante $k_{2}$, estimer la valeur de cette statistique. La valeur minimale de $D_{KS}(k_{2})$ nous conduit à une constante $k_{2}$ optimale. Pour le sinogramme $_{7}p_{v}$, nous obtenons les résultats illustrés Fig.6.9.

Figure 6.9: Courbe $D_{KS}=f(k_{2})$ pour le sinogramme $_{7}p_{v}$

Nous constatons que l'utilisation de ce critère conduit à la même valeur de $k_{2}$ optimale. Comme précédemment, nous donnons les courbes $D_{KS}(k_{2})$ pour 10 angles de vues particuliers (Fig.6.10)

Figure 6.10: $D_{KS}=f(k_{2})$ pour 10 angles de vues $\theta$.

.

5.4.2.3 Confrontation des histogrammes.

Pour les valeurs optimales des constantes $k_{1}$ et $k_{2}$, les histogrammes des deux sinogrammes de bruit sont donnés Fig.6.11.

Figure 6.11: Histogramme des sinogrammes de bruits. Les distributions sont normalisées par l'écart type du bruit sur les sinogrammes (Eq.6.9). On représente en bleu le sinogramme de bruit calculé et en vert le sinogramme de bruit réel.

Il faut reconnaître une forte similitude entre les deux tracés. Le sinogramme de bruit calculé présente donc bien le même type d'histogramme que le sinogramme réel. Il faut noter un écart sur les faibles valeurs ($<-3.$) entre la distribution calculée et la distribution réelle. Cette dernière présentant une queue de distribution plus élevée. Si nous regardons, par segmentation de l'histogramme, à quel endroit, spatialement, se situent les valeurs correspondant à cette queue de distribution, nous constatons qu'il s'agit principalement de valeurs situées à la périphérie du cerveau (i.e. à l'interface entre la tête et le fond).

5.4.2.4 Confrontation visuelle.

D'autre part, on donne Fig.6.12 une illustration des sinogrammes de bruit calculés et réels pour un même plan $\Pi$. Même si les valeurs de bruit se distribuent sensiblement de la même manière (histogrammes voisins), la figure Fig.6.12

Figure 6.12: Deux plans $\Pi$ des sinogrammes de bruit.L'axe des abscisses correspond à une variation de $r$ sur l'axe des ordonnées à une variation suivant $s$. La direction de projection $(\theta ,\phi )$ est fixée.

[Sinogramme $b^p_v$]	[Sinogramme $b^p_b$]

met en évidence que les sinogrammes présentent en réalité un aspect sensiblement différent. Pour le sinogramme de bruit calculé, nous n'avons pas un ``grain'' aussi fin que dans la distribution réelle. Cela est certainement un effet lié au pas de discrétisation de notre volume qui reste, somme toute, relativement grossier ($\approx$ 2mm).

5.4.2.5 Confrontation des profils d'autocorrélation.

Nous avons montré précédemment que la corrélation suivant les angles de vues $\theta$ dépendait de la géométrie d'acquisition ainsi que du volume émetteur. Il en va évidemment de même pour les angles d'inclinaison $\phi$. En revanche, nous avions supposé que les fonctions caractéristiques $\Phi _{r,s,\theta ,\phi }$ correspondaient à des portions disjointes de l'espace lorsqu'on se déplacait en $r$ où en $s$. Au moment de l'acquisition, nous avons un entrelaçage des vues, et une valeur d'écartement nous permet de regrouper différentes lignes de coïncidences au sein d'une même valeur de $s$. L'ensemble de ces techniques liées à l'acquisition vont induire une corrélation suivant les variables $r$ et $s$. Ces techniques (entrelaçage, brassage, écartement) ont été prises en compte dans le calcul de notre sinogramme. Nous voulons donc voir si ces éléments suffisent à expliquer la corrélation suivant ces deux directions sur le sinogramme observé. Nous allons calculer les images d'autocorrélation 2D de chacun des 10 plans $\Pi$. Nous moyennons ensuite tous ces images 2D d'autocorrélation pour obtenir une image d'autocorrélation moyenne. D'autre part, le fait de moyenner les différentes images de corrélation obtenues pour chaque plan considéré nous fait perdre la variabilité de ces images en fonction de l'angle de vue. Mais, il s'agit ici de déterminer si globalement suivant les directions portées par $\vec{r}$ et $\vec{s}$, les corrélations entre sinogramme calculé et sinogramme réel sont les mêmes. Le moyennage a donc un sens puisque dans les deux cas, le fantôme utilisé est le même et la géométrie d'acquisition est la même. Sur la figure Fig.6.13

Figure: Profils d'autocorrélation sur sinogramme de bruit calculé ou réel. On représente les profils suivant la direction $\vec{r}$ (à droite) et suivant la direction $\vec{s}$ (à gauche) sur la même figure. Les profils vert (suivant $\vec{r}$) et rouge (suivant $\vec{s}$) correspondent au profils d'autocorrélation calculés pour le sinogramme de bruit réel ($b^{p}_{v}$), les profils bleu (suivant $\vec{r}$) et violet (suivant $\vec{s}$) correspondent aux profils d'autocorrélation calculés pour le sinogramme de bruit calculé ($b^{p}_{b}$)

, nous représentons les profils moyens d'autocorrélation suivant les directions associées à $\vec{r}$ et $\vec{s}$. Ces profils d'autocorrélation sont estimés dans l'espace de Fourier par utilisation des FFT. On considère donc que le bruit est stationnaire sur chaque plan $\Pi$. En effet, la FFT ne nous donne accès qu'à une valeur globale de la corrélation. Les profils d'autocorrélation sont donc uniquement fonction de $\Delta r=r_{2}-r_{1}$ et $\Delta s=s_{2}-s_{1}$ et non plus de $(s_{1},s_{2},\theta _{1},\theta _{2})$.^5.5 Pour le sinogramme calculé, nous avons une corrélation beaucoup plus faible. Il sera donc nécessaire d'introduire un filtrage ! Théoriquement, c'est le processus d'émission des $\beta ^{+}$ qui est de nature poissonnienne et donc aléatoire. Or, entre l'émission et la création de paires de photons $\gamma$, il existe un parcours de l'anti-électron. Comme le sinogramme compte les paires de photons, ce parcours va introduire un flou sur la localisation du bruit. L'introduction d'un filtrage nous permet (en partie) de prendre en compte ce flou.