Pour simplifier les équations, on travaille en 2D et dans un contexte continu,
mais le raisonnement s'adapte sans difficulté au cas 3D. On pose donc un objet
émetteur 2D . A partir de ce fantôme, nous allons calculer les
projections. On fait l'hypothèse que les valeurs de distribution radioactive
réelle
se déduisent du fantôme par simple proportionnalité.
Cela signifie que le niveau du signal dans le fantôme n'est pas le même que
le volume réel introduit sous la caméra. Il est donc nécessaire d'introduire
une constante de proportionalité
pour ramener le niveau du signal
dans le fantôme à celui de la distribution radioactive réelle.
Cette constante est calculée de manière à ce que la plage de valeurs
sur laquelle s'étend un sinogramme calculé soit la même que celle correspondant
au sinogramme provenant d'une acquisition. Cette plage de valeurs ne donne pas
directement le nombre de coups recueilli par les détecteurs! Il faudrait prendre
en compte également la sensibilité de la machine. Cette normalisation, liée
à la machine elle même, est calculée à chaque étalonnage de la caméra et conduit,
pour la caméra ECAT HR+ à un fichier de normalisation séparé. Nous pouvons trouver
à ce niveau la justification de l'introduction d'une nouvelle constante
pour avoir un bruit sur l'image qui dépend du nombre de coups (Par.6.2.2
et Par.6.6.2).
La projection introduit de manière naturelle une instationnarité sur le sinogramme de bruit qui dépend de l'objet à imager. Cette instationnarité liée à la projection elle-même peut être aisément prise en compte si on réalise la projection d'un volume bruité. Il est clair que le fait d'introduire le bruit avant projection nous contraint, lorsqu'on veut réaliser plusieurs sinogrammes d'un même objet, à reprojeter le volume. Le temps nécessaire et donc la rapidité du calcul de la projection devient alors un facteur primordial.
L'émission radioactive est intrinsèquement un processus poissonnien dont le paramètre est lié au nombre de coups émis. Les projections qui correspondent à une intégration de multiples lois de poisson répond également à un processus de poisson. En revanche:
Comme nous l'avons vu (Ch.5) l'expression analytique des projections dans un cadre continu peut se mettre sous la forme d'une intégration: