5.2 Hypothèses.

5.2.1 Hypothèse de Normalisation.

Pour simplifier les équations, on travaille en 2D et dans un contexte continu, mais le raisonnement s'adapte sans difficulté au cas 3D. On pose donc un objet émetteur 2D $f(x,y)$. A partir de ce fantôme, nous allons calculer les projections. On fait l'hypothèse que les valeurs de distribution radioactive réelle $f_{v}(x,y)$ se déduisent du fantôme par simple proportionnalité. Cela signifie que le niveau du signal dans le fantôme n'est pas le même que le volume réel introduit sous la caméra. Il est donc nécessaire d'introduire une constante de proportionalité $k_{1}$ pour ramener le niveau du signal dans le fantôme à celui de la distribution radioactive réelle.

$$f_{n}(x,y)=k_{1}\times f(x,y)$$

5.2.1.0.1 Attention:

Cette constante $k_{1}$ est calculée de manière à ce que la plage de valeurs sur laquelle s'étend un sinogramme calculé soit la même que celle correspondant au sinogramme provenant d'une acquisition. Cette plage de valeurs ne donne pas directement le nombre de coups recueilli par les détecteurs! Il faudrait prendre en compte également la sensibilité de la machine. Cette normalisation, liée à la machine elle même, est calculée à chaque étalonnage de la caméra et conduit, pour la caméra ECAT HR+ à un fichier de normalisation séparé. Nous pouvons trouver à ce niveau la justification de l'introduction d'une nouvelle constante $k_{2}$ pour avoir un bruit sur l'image qui dépend du nombre de coups (Par.6.2.2 et Par.6.6.2).

5.2.2 Hypothèse sur le bruit.

La projection introduit de manière naturelle une instationnarité sur le sinogramme de bruit qui dépend de l'objet à imager. Cette instationnarité liée à la projection elle-même peut être aisément prise en compte si on réalise la projection d'un volume bruité. Il est clair que le fait d'introduire le bruit avant projection nous contraint, lorsqu'on veut réaliser plusieurs sinogrammes d'un même objet, à reprojeter le volume. Le temps nécessaire et donc la rapidité du calcul de la projection devient alors un facteur primordial.

L'émission radioactive est intrinsèquement un processus poissonnien dont le paramètre est lié au nombre de coups émis. Les projections qui correspondent à une intégration de multiples lois de poisson répond également à un processus de poisson. En revanche:

• Si le nombre de coups émis est grand, une bonne approximation de cette loi est une loi gaussienne.
• D'autre part, on récupère les projections de ce volume émetteur après de multiples corrections.

C'est pourquoi, on considère un modèle proche du modèle poissonnien mais plus facile à utiliser. On considère que l'émission sur le volume représentatif de la distribution radioactive réelle est entachée d'un bruit additif $b_{n}(x,y)$^5.1:

$$f_{nb}(x,y)=f_{n}(x,y)-b_{n}(x,y)$$

Les propriétés du bruit sont, dans un premier temps, les suivantes :

$$\left\{ \begin{array}{l} E[b_{n}(x,y)]=0\\ E[b_{n}(x,y)b_{n}(u,v)]=\sigma _{b_{n}}^{2}(x,y)\delta (x-u,y-v) \end{array}\right.$$ (5.1)

Ce bruit n'est donc pas corrélé et dépend de l'intensité réelle de l'objet émetteur. On définit sa densité de probabilité $g$ comme une densité gaussienne:

$$g[b_{n}(x,y)]=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{bn}(x,y)}e^{-\frac{b_{n}(x,y)^{2}}{2\sigma _{b_{n}}^{2}(x,y)}}$$ (5.2)

où $\sigma _{b_{n}}(x,y)=k_{2}\sqrt{f_{n}(x,y)}=k_{2}\sqrt{k_{1}}\sqrt{f(x,y)}$ marque la dépendance à l'intensité de l'objet .

5.2.3 Hypothèse sur la projection.

Comme nous l'avons vu (Ch.5) l'expression analytique des projections dans un cadre continu peut se mettre sous la forme d'une intégration:

$$p(r,\theta )=\int \int _{x,y}f(x,y)\Phi _{r,\theta }(x,y)dxdy$$

où $\Phi _{r,\theta }(x,y)$ est une fonction caractéristique qui spécifie les pixels de l'image qui contribuent à la projection^5.2. Cette fonction définie une surface caractéristique pour chaque détecteur telle que:

$$\left\{ \begin{array}{l} \Phi _{r,\theta }(x,y)=1\mbox {\, si\, x... ... le\, capteur}\\ \Phi _{r,\theta }(x,y)=0\mbox {\, sinon} \end{array}\right.$$

Les pixels compris dans cette surface contribuent au détecteur indexé par $r$ et $\theta$.