5.6 Estimation du modèle pour différents niveaux de bruit.

Maintenant que nous connaissons les hypothèses et les limites imposées à notre modèle de bruit, nous pouvons chercher à en estimer les paramètres représentatifs pour différents niveaux de bruit. Pour cela, nous travaillons sur les sinogrammes définis Tab.6.1. Pour chaque sinogramme correspondant à un nombre de coup précis, nous construisons les sinogrammes de bruit calculé $b^{p}_{b}$ et réel $b^{p}_{v}$ en accord avec le protocole défini Fig.6.14 La détermination des constantes $k_{1}$ et $k_{2}$ pour le fantôme Tab.6.3 se fait en procédant comme au paragraphe Par.6.4.2. D'autre part, même si elle n'a pas d'influence directe sur la nature du bruit, nous donnons la constante $k_{3}$ pour le filtrage considéré. Les résultats obtenus sont consignés Tab6.7.

Table 6.7: Nombre de coups dans les sinogrammes.

Sinogramme	$_{1}p_{v}$	$_{2}p_{v}$	$_{3}p_{v}$	$_{4}p_{v}$	$_{5}p_{v}$
Nb de coups(M)	20	40	60	80	100
$k_{1}$	$9.1\times 10^{-6}$	$1.82\times 10^{-5}$	$2.74\times 10^{-5}$	$3.63\times 10^{-5}$	$4.52\times 10^{-5}$
$k_{2}$	$2.21\pm 0.17$	$2.21\pm 0.10$	$2.35\pm 0.17$	$2.28\pm 0.11$	$2.45\pm 0.26$
$k_{3}$	0.65	0.65	0.61	0.65	0.65
Sinogramme	$_{6}p_{v}$	$_{7}p_{v}$	$_{8}p_{v}$	$_{9}p_{v}$	$_{10}p_{v}$
Nb de coups(M)	130	260	390	520	650
$k_{1}$	$5.84\times 10^{-5}$	$1.17\times 10^{-4}$	$1.75\times 10^{-4}$	$2.31\times 10^{-4}$	$2.86\times 10^{-4}$
$k_{2}$	$2.49\pm 0.17$	$2.80\pm 0.23$	$2.95\pm 0.20$	$3.12\pm 0.30$	$3.20\pm 0.31$
$k_{3}$	0.68	0.66	0.68	0.68	0.70

5.6.1 Variation de la constante $k_{1}$.

Rappelons que la constante $k_{1}$ est une constante de normalisation qui nous sert à ajuster les valeurs du fantôme numérique (utilisé pour la projection) avec le fantôme réel introduit sous la caméra ( $f_{n}=k_{1}\times f$). Comme les valeurs observées de cette constante sont de valeur très inférieure à 1, nous savons alors que notre fantôme numérique, bien que respectant le ratio entre les deux classes, présente des valeurs trop élevées par rapport au fantôme réel. D'autre part, lorsque nous augmentons le nombre de coups dans le sinogramme, il est clair que le nombre de coups émis par chaque voxel du fantôme augmente. Du fait de la linéarité des processus mis en jeu dans la projection, nous pouvons supposer que cette variation, et donc celle de la constante $k_{1}$, est liée de manière linéaire au nombre de coups mesurés dans le sinogramme. C'est effectivement ce que nous observons (Fig.6.22).

Figure 6.22: Variation de la constante $k_1$ en fonction du nombre de coups $N_c$. On représente l'approximation linéaire en bleu.

En effet, la variation de cette constante en fonction du nombre de coups $Nc$ est bien approximée ($r=0.999$) par une droite d'équation:

$$k_{1}=7.7\times 10^{-5}+Nc\times 4.4\times 10^{-5}$$ (5.13)

Quand on veut simuler un sinogramme de bruit, on dispose d'un fantôme numérique présentant des valeurs arbitraires $f$ en chaque voxel. Par la constante $k_{1}$, on donne un sens au volume en terme de nombre de coups. Pour une acquisition durant laquelle nous avons enregistré $N_{c}$ coups, supposons que la plage de valeurs couverte par le sinogramme après correction soit $[p_{min},p_{max}]$, alors le sinogramme calculé et normalisé $k_{1}\times p$ couvrira a peu près le même intervalle de valeurs. Le volume normalisé aura effectivement émis $\sum f_{n}=k_{1}\times \sum f$ ``coups''. Il peut donc être intéressant de voir le nombre de ``coups'' $\sum f_{n}$ ou moyen $\bar{f}_{n}$ après reconstruction auxquels correspondent les nombres de coups $N_{c}$ réels sur le sinogramme. L'activité moyenne dans notre fantôme numérique est $\bar{f}$ .Nous saurons alors, pour cette activité moyenne, quelle constante $k_{1}$ choisir pour simuler un bruit équivalent à celui présent dans un volume réel d'activité moyenne $\bar{f}_{n}$. On reconstruit donc les sinogrammes réels issus d'acquisition (correspondant à un niveau de bruit particulier). Ces reconstructions nous fournissent des volumes $_{\alpha }f_{vr}$ pour chaque sinogramme. On reconstruit également le sinogramme issu de notre fantôme numérique sans normalisation $f_{r}$. En comparant les valeurs moyennes de ces deux types de volumes, nous devrions, en cas de linéarité, retomber sur la constante $k_{1}$ estimée précédemment à l'aide des projections. Les valeurs obtenues sont consignées Tab.6.8.

Table: Valeur moyenne du fantôme après reconstruction et constante $k_{1}$ en fonction du nombre de coups dans le sinogramme.

Nb de coups (M)	40	80	100	260	390	650
$\bar{f}_{vr}$ (128x128x63 voxels)	0.024	0.046	0.058	0.149	0.223	0.365
$\bar{f}_{r}$ (128x128x63 voxels)	1183.72	1183.72	1183.72	1183.72	1183.72	1183.72
$k_{1}$ ( $\times 10^{-5}$)	1.9	3.9	4.8	12.6	18.9	30.8

Sur la figure Fig.6.23. sont tracées les variations de la constante $k_{1}$ calculées après reconstruction.

Figure 6.23: Variation de la constante $k_1$ par comparaison des moyennes des reconstructions. Approximation linéaire en vert. Approximation linéaire calculée à partir de Eq.6.13 en bleu.

On établit également l'équation de la droite qui passe au mieux par les points obtenus (en vert). Nous rappelons la droite obtenue précédemment (Eq.6.13 en bleu). Nous voyons que ces deux droites ne sont pas rigoureusement superposées. La différence entre les deux courbes correspond à une variation de la pente de l'ordre de 7%. Cette variation provient certainement du fait que le fantôme numérique est légèrement différent du fantôme physique introduit sous la caméra.

5.6.2 Variation de la constante $k_{2}$.

Le rôle de la constante $k_{2}$ est double.

Premièrement, lorsque nous reconstruisons le sinogramme $p_{v}$, le valeurs $f_{vr}$ obtenues ne sont pas directement le reflet du nombre de coups émis par chaque voxel. Il existe une valeur de normalisation multiplicative propre à la caméra qui prend en compte, entre autre, la sensibilité de la caméra. Autrement dit, les valeurs du fantôme $f_{n}$ dite ``normalisées'' ne prennent pas en compte ces facteurs propres à la caméra (ils varient à chaque étalonnage de la machine). Pour un bruit de nature poissonnienne, la variance du bruit $\sigma _{b}(x,y)$ est égale au nombre de coups $N(x,y)$ émis en $(x,y)$. En revanche, comme les valeurs du volume ``normalisé'' $f_{n}$ ne sont que le reflet du nombre de coups à une constante près $f_{n}=k_{ecat}\times N(x,y)$ et comme la variance du bruit $\sigma _{_{b_{n}}}$ est construite sur ce volume ``normalisé'', nous sommes obligés d'introduire une constante $k_{2}$ qui nous permet de récupérer, de manière empirique, l'erreur liée à un calcul de variance basé sur $f_{n}$ et non $N(x,y)$.

Deuxièmement, pour modéliser la loi suivie par le bruit sur les projections après correction, Rowe et Dai [81] définissent en 2D, sur un fantôme géométrique de forme simple, un modèle pseudo-poissonnien . Dans ce travail, les auteurs montrent que le bruit sur les projection, après correction, présente une variance plus élevée que la variance liée à un bruit poissonnien. Dans notre modèle de bruit si $k_{2}=1$, nous ne considérons certes pas le modèle poissonnien, mais le bruit présente également une variance égale à l'espérance du signal dans l'image. Autrement dit, la variable $k_{2}$ représente l'écart de la variance de notre bruit par rapport à la variance d'un bruit poissonnien. Dans leur article, Rowe et Dai montrent une dépendance quadratique entre le spectre de puissance du bruit et le nombre de coups dans les projections.

Ici, nous allons directement chercher la variation de la constante $k_{2}$ en fonction du nombre de coups dans le sinogramme après correction. Partant des valeurs obtenues Tab.6.7, nous pouvons construire la courbe $k_{2}=f(Nc)$. Cette courbe est tracée Fig.6.24.

Figure: Variation de la constante $k_2$ en fonction du nombre de coups mesurés sur les sinogrammes. Approximation parabolique en bleu.

Nous voyons que la constante $k_{2}$ dépend du nombre de coups présents dans le sinogramme. Nous pouvons approximer cette variation par une parabole dont l'équation est:

$$k_{2}=2.12+2.93\times 10^{-3}Nc-1.97\times 10^{-6}Nc^{2}$$

Cette équation permet d'expliquer 98% de la dispersion des valeurs de $k_{2}$ en fonction du nombre de coups ($r=0.993$).