5.7 Validation du modèle post-reconstruction.

5.7.1 Confrontation.

Nous venons de définir un modèle de bruit que nous appliquons à tout volume numérique pour simuler l'acquisition d'un sinogramme. Nous avons ensuite estimé les valeurs des constantes qui contrôlent le modèle pour différents niveaux de bruit. Notre souci était d'obtenir des sinogrammes de bruit présentant une distribution analogue à celle obtenue partant de sinogrammes réels. Il s'agit maintenant de vérifier que les sinogrammes obtenus, après reconstruction, conduisent à des images analogues à celle provenant de sinogrammes réels. Nous repartons donc de notre fantôme numérique recalé. Nous cherchons à construire un sinogramme $p_{n}$ présentant les mêmes caractéristiques statistiques que le sinogramme réel $_{7}p_{v}$. Nous obtenons alors deux constantes qui sont $k_{1}=1.17\times 10^{-4}$ et $k_{2}=2.8$. Nous effectuons, en chaque voxel du fantôme numérique, un tirage aléatoire suivant la loi Eq.6.2 pour obtenir une valeur de bruit $b_{n}(x,y,z)$. Nous construisons un fantôme bruité $f_{bn}(x,y,z)=k_{1}\times f(x,y,z)+b_{n}(x,y,z)$. Nous projetons ce fantôme pour obtenir un sinogramme bruité. Afin d'estimer les vues manquantes de ce sinogramme, nous le reconstruisons en utilisant uniquement le premier segment et en effectuant une reconstruction 2D par plan (cf Ch.7). Cette reconstruction est ensuite reprojetée analytiquement afin d'obtenir l'information pour les éléments qui ne sont pas vus du fait de la géométrie cylindrique d'acquisition. Nous pouvons alors reconstruire le sinogramme ainsi complété par une méthode standard. Une représentation de cette reconstruction pour un plan de coupe transaxial est donnée Fig.6.25.a.

Figure: Reconstruction de sinogrammes réel et simulé de même puissance de bruit.

[Simulation]	[Réel]

Le plan équivalent provenant du sinogramme $_{7}p_{v}$ (après reconstruction 2D, reprojection analytique et reconstruction 3D) est donné Fig.6.25.b. Il est clair que les reconstructions présentent un aspect totalement différent! Pourtant les distributions de bruit sur le sinogramme sont équivalentes en terme de moyenne, de variance pour les deux types de sinogrammes (réel ou calculé).

Malheureusement pour nous, ce n'est pas parceque deux distributions ont la même moyenne et la même variance qu'elles sont identiques. Est ce à dire qu'il nous faut rejeter notre modèle ?

L'étude qui précède nous a permis de rendre les puissances des bruits calculées et réelles équivalentes. Toutefois, cela nous a conduit à des constantes $k_{1}<<0$. Ce qui veut dire, que l'écart type $k_{2}\sqrt{k_{1}f(x,y,z)}$ du bruit que nous ajoutons sur notre volume peut devenir plus important que le signal lui même $k_{1}f(x,y,z)$. Autrement dit, le bruit dans le volume $f_{bn}$ juste avant la projection détruit quasi-totalement l'information spatiale relative au signal. Il faut donc trouver un moyen de conserver une information spatiale dans ce volume $f_{bn}$. L'idée que nous proposons est donc de construire différemment la distribution de bruit $b_{n}$ en ne réalisant un tirage aléatoire que sur un sous ensemble des $N$ voxels du fantôme numérique.

5.7.2 Sous-échantillonnage.

Imaginons en 2D une partie de notre image (3x3=9 voxels de $f_{1}$ à $f_{9}$). On considère également que chaque pixel est la réalisation d'un processus aléatoire $\{X_{i}\}_{i=1,9}$. Chacun de ces processus peut se mettre sous la forme $X_{i}=f_{i}+n_{i}$, où $f_{i}$ représente la valeur déterministe de la distribution radioactive et $n_{i}$ son aspect aléatoire, son bruit. On suppose pour simplifier que ce bruit est gaussien de variance $\sigma ^{2}_{i}=f_{i}$. La projection envisagée Fig.6.26.a revient à construire une variable aléatoire $Y=X_{4}+X_{5}+X_{6}.$

Figure: Projection et sous-échantillonnage.

[Projection sans sous-échantillonnage.]	[Projection avec sous-échantillonnage.]

Cette variable est gaussienne car elle s'écrit comme la somme de variables aléatoires gaussiennes. Son espérance est alors $I\! \! E(Y)=f_{4}+f_{5}+f_{6}$ et sa variance $Var(Y)=\sigma ^{2}_{4}+\sigma ^{2}_{5}+\sigma ^{2}_{6}=f_{4}+f_{5}+f_{6}$.

Supposons maintenant que sur ces 9 pixels, un seul des pixel soit la réalisation d'un processus aléatoire {$X_{5}'$ par exemple) et qu'il se mette sous la forme $X_{5}'=f_{5}+n_{5}'$. La projection devient un processus aléatoire défini par $Y=f_{4}+X_{5}'+f_{6}$ (Fig.6.26.b). Son espérance est alors $I\! \! E(Y)=f_{4}+f_{5}+f_{6}$ et sa variance $Var(Y)=\sigma ^{2}_{n_{5}'}$. Pour que les variances soient équivalentes dans les deux cas, il suffit de prendre $\sigma ^{2}_{n_{5}'}=f_{4}+f_{5}+f_{6}$. Si on suppose que l'image est suffisamment lisse pour que les variations entre pixels soit telles que $f_{4}+f_{5}+f_{6}\approx 3\bar{f}$ où $\bar{f}$ représente la moyenne sur les neufs pixels, alors le fait de ne bruiter qu'un voxel sur les neufs, nous permet de construire des projections pour lesquelles le bruit est équivalent (en terme de moyenne et de variance) au bruit que nous aurions obtenu en bruitant les neufs pixels.

Ainsi, pour bruiter notre image, nous envisageons la procédure suivante.

1. On fixe une valeur de sous-échantillonnage $N_{ech}$. Cela reviendra à bruiter un voxel sur $N_{ech}$ où bien un voxel sur $^{3}\sqrt{N_{ech}}$ par direction. Afin d'obtenir ce ratio quelle que soit la direction envisagée, les voxels à bruiter sont tirés de manière aléatoire.
2. Pour connaître la valeur de la variance du bruit en chaque voxel de bruit. Nous devons construire une image qui affecte à chaque voxel la moyenne sur les $N_{ech}$ voxels les plus proches. Pour cela, on effectue un filtrage par un filtre moyenneur dont la largeur est fixée par $^{3}\sqrt{N_{ech}}$.
3. Nous effectuons, pour les voxels (issus de 1) devant être bruités, un tirage aléatoire suivant une loi gaussienne de moyenne nulle dont l'écart type est fixé par l'image obtenue en 2.

Nous obtenons alors une nouvelle image bruitée servant de base à la projection. L'avantage vient du fait qu'en bruitant un voxel sur $N_{ech}$ nous pouvons conserver de l'information spatiale dans notre volume $f_{bn}$.

Nous donnons Fig.6.27 les images issues de ces volumes émetteurs pour différentes valeurs de sous échantillonnage.

Figure: Reconstruction de sinogrammes simulés pour différentes valeurs de sous échantillonnage.

[ $N_{ech} = 125$ ]	[ $N_{ech} = 27$]
[ $N_{ech} = 8$]	[ $N_{ech} = 1$]

Ces images sont à comparer à la reconstruction issue d'un sinogramme réel (Fig.6.25.b). Afin d'apprécier de manière plus quantitative ce que nous pouvons observer Fig.6.27, nous allons définir deux critères pour mesurer les différences entre les volumes issus de la reconstruction d'un sinogramme réel d'une part, et ceux issus de la reconstruction de sinogrammes simulés d'autre part. Il s'agit du critère Root Mean Square distance (RMS) défini par :

$$d_{RMS}=\sqrt{\sum ^{N}_{n=1}\frac{(\{f_{bn}\}_{n}-\{f_{v}\}_{n})^{2}}{N}}\times \frac{100\%}{\bar{f}_{v}}$$

et Direct Mean (DM) défini par:

$$d_{DM}=\frac{\vert\bar{f}_{bn}-\bar{f}_{v}\vert}{\bar{f}_{v}}\times 100\%$$

où:

$\{f_{bn}\}_{n}$:	Intensité du voxel d'indice $n$ (sinogramme simulé).
$\{f_{v}\}_{n}$:	Intensité du voxel d'indice $n$ (sinogramme réel).
$\bar{f}_{bn}$:	Valeur moyenne sur le volume (sinogramme simulé).
$\bar{f}_{v}$:	Valeur moyenne sur le volume (sinogramme réel).
$N$ :	Nombre de voxels dans le volume.

Ces critères standards [60,42] sont utilisés comme définis par Ouyang dans [72]. Pour différentes valeurs du sous-échantillonnage $N_{ech}$, nous allons calculer les valeurs de ces deux critères. Les résultats obtenus sont illustrés sous forme de courbes Fig.6.28.

Figure: Variation de la RMS distance et de la DM distance en fonction du sous-échantillonnage.

Premièrement, on constate que le critère DM reste plus ou moins constant quel que soit le pas d'échantillonnage. Ceci confirme l'hypothèse que le sous-échantillonnage effectué n'affecte pas le niveau du signal dans l'image. En effet, ce critère s'appuie sur la moyenne dans les images et représente donc une mesure globale. En revanche, le critère RMS traduisant les différences locales entre les deux images est fortement affecté. Nous constatons qu'en l'absence de sous-échantillonnage ($N_{ech} = 1$), la RMS distance est élevée, elle décroît rapidement à mesure que l'on augmente le pas de sous-échantillonnage et converge asymptotiquement vers une valeur de $43\%$. Cette amélioration de la distance RMS confirme ce que nous observions qualitativement sur la figure Fig.6.27. Cette valeur asymptotique montre la meilleure valeur de distance RMS que nous pouvons attendre lors de la reconstruction. Le fait qu'elle soit non nulle provient, il nous semble, de trois éléments :

1. Le modèle de bruit n'est qu'une approximation de la réalité.
2. Le fantôme servant pour la simulation ne reflète qu'imparfaitement le fantôme introduit sous la caméra.
3. Les bruits sur les sinogrammes réel et calculé correspondent à 2 tirages aléatoires indépendants. Les images après reconstruction seront donc différentes. Si nous prenons le fantôme servant à la reconstruction normalisé $f_{n}$ et que partant de ce volume, nous construisons deux fantômes bruités $_{1}f_{bn}$ et $_{2}f_{bn}$ simplement en effectuant en chaque voxel un tirage aléatoire suivant une loi de Gauss indépendante du signal dont la variance $\sigma$ est égale à 10% du signal moyen $\bar{f}_{n}$, alors, la distance RMS entre ces deux volumes vaut $\approx 50\%$.

Notons donc que le sous-échantillonnage nous permet de diminuer la distance RMS de 68% à 43% (x0.67) et nous permet de résoudre le problème de perte d'information spatiale observé Par.6.7.1.