10.3 Evaluation statistique des méthodes de reconstruction.

10.3.1 Images de Variance.

Afin de montrer l'intérêt de la simulation sur la détermination des caractéristiques du bruit dans les images après reconstruction, nous allons chercher à estimer la variance en chaque pixel sur un fantôme particulier. Il est clair que ce genre d'étude ne peut être mené par la réalisation d'une série de mesures car elle impliquerait un trop grand nombre d'acquisitions.

10.3.1.1 Fantôme utilisé.

Le fantôme envisagé est un cylindre homogène de rayon 186 mm situé au centre du champ de vue. Le cylindre en question couvre l'intégralité du tunnel imagé suivant la direction $z$. L'avantage de ce fantôme est son homogénéité et sa symétrie de révolution qui ne génère pas d'aberrations liées à la géométrie de l'objet émetteur. On peut ainsi totalement voir les instationnarités liés au processus d'acquisition/reconstruction.

10.3.1.2 Création de volumes de référence.

Partant de ce fantôme, nous allons générer un sinogramme non bruité complet. Ce sinogramme est reconstruit suivant une méthode standard par rétroprojection des données filtrées d'une part et par un méthode algébrique de reconstruction par gradient conjugué (on utilise uniquement le premier segment ). Ces deux reconstructions nous fournissent deux volumes de référence $_{FBP}f_{v}$ pour la reconstruction standard et $_{GC}f_{v}$ pour la reconstruction algébrique. Les reconstructions de sinogrammes bruités faites ultérieurement seront comparées à ces volumes.

10.3.1.3 Réalisation des itérations.

Nous allons maintenant simuler 50 acquisitions. Pour chaque simulation, nous envisageons différentes reconstructions dans le but d'obtenir une image de variance pour chaque type. La démarche est la suivante:

1. Création d'un sinogramme bruité par l'utilisation de notre modèle de bruit. La valeur moyenne sur le fantôme étant la même que dans le cas du fantôme numérique d'Hoffman, nous utilisons les constantes $k_{1}=4.52\times 10^{-5}$ et $k_{2}=2.45$ afin de simuler une acquisition présentant 100M de coups (cf. Tab.6.7 du Ch.6).
2. Reconstruction du premier segment pour l'estimation par projection des vues manquantes.
3. Reconstruction du sinogramme complet par FBP3D ( $f_{cxy}=0.247mm^{-1}$, $f_{cz}=0.206mm^{-1}$), FORE+FBP ( $f_{cxy}=0.247mm^{-1}$), FORE+GC ( $(\beta ,\delta )=(25,)$), FOSA+FBP ( $f_{cxy}=0.247mm^{-1}$), FOSA+GC ( $(\beta ,\delta )=(25,)$).
4. Mise à jour de l'image de variance pour l'itération considérée. Retour à 1.

10.3.1.4 Résultats.

Nous donnons Fig.11.15 l'illustration des résultats pour un plan transaxial situé au centre du champ de vue. Pour ce plan, nous donnons également les profils passant par le centre suivant les directions associées à $x$ et $y$.

10.3.1.4.1 Comparaison FBP3D versus Rebinning+FBP

D'une manière générale, nous voyons que la variance pour ces deux modes de reconstruction est du même ordre de grandeur (Fig.11.13).

Figure 11.13: Comparaison de la variance dans un plan transaxial pour des reconstructions de type FBP3D etRebinning+FBP. Les profils illustrés correspondent à la moyenne des deux profils passant par le centre du champ de vue (Un suivant la direction $x$ et l'autre suivant la direction $y$.

En revanche, nous voyons nettement que la variance pour les reconstructions impliquant une méthode de rebinning montrent une plus grande instationnarité. La variance est plus élevée au centre du champ de vue et diminue à mesure que l'on s'éloigne du centre. Ce phénomène semble plus accentué pour l'algorithme de rebinning FOSA.

10.3.1.4.2 Comparaison FBP3D versus Rebinning+GC

Il apparaît nettement que la variance des voxels pour une reconstruction algébrique est plus faible que dans le cas d'une reconstruction standard.11.14

Figure 11.14: Comparaison de la variance dans un plan transaxial pour des reconstructions de type FBP3D etRebinning+GC. Les profils illustrés correspondent à la moyenne des deux profils passant par le centre du champ de vue (Un suivant la direction $x$ et l'autre suivant la direction $y$.

Cela est particulièrement vrai pour les voxels situés à l'intérieur du cylindre. Dans le cas précis d'un fantôme présentant une grande région homogène, la méthode de reconstruction algébrique est optimale. Nous aurions même pu augmenter la constante de lissage et donc diminuer encore la variance à l'intérieur du cylindre. Il faut également remarquer la forte variation de la variance sur les bords du cylindre. La reconstruction algébrique ne lisse pas de manière uniforme, il y aura donc a proximité des discontinuités des variances locales plus élevées. Toutefois, vue la forte différence de valeurs de la variance entre les voxels proches des discontinuités et ceux situés à l'intérieur du cylindre, il me semble que ces valeurs sont également le reflet d'un biais systématique entre la reconstruction et le fantôme $_{GC}f_{v}$ servant de référence (notamment du fait du filtrage effectué sur le volume juste avant projection lors de la création d'un sinogramme de bruit).

10.3.2 Autocorrélation du bruit

Nous venons de voir qu'il existait déjà une instationnarité sur la variance des voxels dans un plan. Nous avons, en introduction de cette thèse, énoncé le fait que l'instationnarité du bruit sur les images était un handicap dans les études d'activation. Une grosse partie du travail de MJ. Antoine durant sa thèse a consisté à montrer l'influence de ces instationnarités sur la détection. Dans ce paragraphe, nous nous intéressons à l'influence de la corrélation inhérente aux images TEP. Rappelons brièvement que l'autocorrélation peut être reliée, sous l'hypothèse de champ gaussien, à un paramètre $s$, appelé smoothness. On montre, en 2D, que $s_{xy}$ peut être estimé à partir de la variance des dérivées premières de l'image suivant les directions $x$ et $y$. Ce paramètre correspond à l'écart-type qu'il faut choisir pour un noyau gaussien bidimensionnel, de manière à ce que le filtrage d'un bruit blanc par ce noyau conduise à la même valeur moyenne de corrélation que celle observée. Nous allons nous intéresser ici uniquement à l'instationnarité suivant un axe longitudinal (suivant $z$). Fig.11.16 nous donnons la variation du paramètre $s_{xy}(z)$ observé (a) et simulé (b).

Figure: Valeur du paramètre $s_{xy}$ suivant la direction $z$ pour la caméra ECAT HR+(d'après [4])

[Mesuré sur acquisition.] [Calculé avec notre modèle de bruit.]

Nous montrons ainsi que notre chaîne de projection/reconstruction permet de retrouver l'instationnarité observé par Antoine sur la caméra ECAT HR+. Cette instationnarité provient essentiellement du processus de reprojection pour estimer les vues manquantes. C'est pourquoi dans un deuxième temps, nous avons cherché à voir comment le rebinning modifiait cette instationnarité. Nous donnons donc Fig.11.17, la variation longitudinale $s_{xy}(z)$ pour les 3 reconstructions FORE+FBP, FOSA+FBP et FBP3D. Nous constatons que les reconstructions post-rebinning, et notamment l'algorithme FORE, atténuent la valeur de la corrélation ($s_{xy}$ est plus faible) pour les plans situés aux extrémités du cylindre.

Figure: Valeur du paramètre $s_{xy}$ suivant la direction $z$ pour différents types de reconstruction provenant d'un sinogramme simulé.