10.2 Evaluation des reconstructions par utilisation de FdM.

Dans la première partie de ce chapitre, nous allons à caractériser des images reconstruites à partir de sinogrammes de nature différente (en terme de nombre de coups). Nous allons limiter notre étude à 5 types de reconstruction (Par.11.2.1). Les images seront comparées au moyen de Figures de Mérites (FdM) calculées sur chaque image reconstruite (Par.11.2.2). Chaque méthode de reconstruction, analytique ou algébrique, nécessite le choix de paramètres qu'il faut fixer avant reconstruction. Le choix de ces paramètres est délicat surtout pour la reconstruction algébrique, c'est pourquoi, nous étudierons plus en détail le choix du couple $(\beta ,\delta )$ inhérent à la méthode de reconstruction algébrique envisagée (Par.11.2.3).

10.2.1 Protocoles de reconstruction.

Afin de restreindre encore notre étude, nous n'allons considérer que 3 niveaux de bruit représentatifs. Nous envisageons donc les sinogrammes calculés ou réels correspondant à 60 ($_{3}p_{v}$) , 100 ($_{5}p_{v}$), 260 ($_{7}p_{v}$) Millions de coups. Ces sinogrammes étant incomplets, nous allons effectuer au préalable une reconstruction 2D par rétroprojection des données filtrées du premier segment de chaque sinogramme. Ce segment acquis suivant la direction transaxiale nous fournit un jeu de projections complet (au sens des conditions d'Orlov). Le volume obtenu sera ensuite reprojeté de façon à estimer les vues manquantes dans les sinogrammes initiaux. Nous envisageons alors 5 méthodes pour reconstruire ces sinogrammes.

1. FBP3D: Rétroprojection 3D des données filtrées avec utilisation du filtre de Colsher et un filtre de Hanning pour l'apodisation.
2. FORE+FBP2D: Reconstruction par rétroprojection 2D des données filtrées avec l'utilisation d'un filtre d'apodisation de type Hanning. La reconstruction est effectuée après rebinning du sinogramme par l'algorithme FORE.
3. FORE+GCSQ: Reconstruction algébrique 2D par l'utilisation de l'algorithme de type gradient conjugué semi-quadratique (GCSQ). On utilise un voisinage par plan transaxial basé sur une 8-connexité. La pondération accordée aux gradients diagonaux est $u=\frac{Df}{\delta \sqrt{2}}$[17]. La reconstruction s'arrête quand l'écart relatif entre deux estimées successives est inférieur à un seuil fixé par l'utilisateur [17,52]. La reconstruction est effectuée après rebinning du sinogramme par l'algorithme FORE.
4. FOSA+FBP2D: Reconstruction par rétroprojection 2D des données filtrées avec l'utilisation d'un filtre d'apodisation de type Hanning. La reconstruction est effectuée après rebinning du sinogramme par l'algorithme FOSA.
5. FOSA+GCSQ: Reconstruction algébrique 2D par l'utilisation de l'algorithme de type gradient conjugué semi-quadratique dans les mêmes conditions que pour FORE+GCSQ. La reconstruction est effectuée après rebinning du sinogramme par l'algorithme FOSA.

10.2.2 Figures de Mérite.

Rappelons que nous avons introduit Ch.6 Par.6.4.1 un concept de région. Dans ce paragraphe, on donnait également la définition du fantôme d'Hoffman que nous allons réutiliser. Ce fantôme contient deux classes correspondant respectivement à la matière grise (notée $G$) et à la matière blanche (notée $B$). Nous allons associer à chacune de ces deux classes une région sur laquelle va se baser le calcul des FdMs utilisées. Nous généralisons au cas 3D, les Figures de Mérite définies par Chan en 2D [16]. Elles sont au nombre de 6:

• Deux pour estimer la Précision à retrouver le Volume de la Region correspondant à la matière Blanche ($PVRB$) ou la matière Grise ($PVRG$). On compare le nombre de voxels dans les régions après reconstruction avec ceux initialement mesurés dans le volume de référence.
• Deux pour estimer la Précision en terme de distance RMS (Root Mean Square distance) sur chacune des deux régions $PRMSB$ et $PRMSG$. On caractérise, par région, la somme des écarts quadratiques entre les voxels des images reconstruites et ceux du volume de référence.
• Une pour estimer le contraste entre les deux régions $CRC$. On compare l'écart entre les moyennes des deux régions considérées pour des volumes reconstruits avec celui mesuré sur le volume de référence.
• Une pour estimer le rapport signal sur bruit $SNR$ (Signal to Noise Ratio). Le $SNR$ est obtenu en normalisant l'écart entre les moyennes des deux régions considérées par un écart type construit comme la somme pondérée par le nombre de voxels des écarts type dans chacune des régions.

Pour calculer ces FdMs, nous aurons besoin de différencier les grandeurs calculées sur une reconstruction du celles calculées sur une référence. Un $v$ en indice marquera toute grandeur associée à un volume de référence. D'autre part, les Figures de Mérite s'appuient sur les moyennes $\mu _{G}$ et $\mu _{B}$, les écarts types $\sigma _{G}$ et $\sigma _{B}$, les nombres de voxels $N_{G}$ et $N_{B}$ et les distance RMS $d_{RMSG}$ et $d_{RMSB}$ dans chacune des deux régions $G$ et $B$. Nous rappelons la distance RMS $d_{RMSR}$ que nous avions définie au Ch.6 en l'adaptant à une région $R$ particulière:

$$d_{RMSR}=\sqrt{\sum _{n=1}^{N_{R}}\frac{(f_{n}-\{f_{v}\}_{n})^{2}}{\{N_{v}\}_{R}}}\times \frac{100\%}{\overline{f_{v}}}$$

Chan [16] introduit également une image moyenne $\mathbf{c}$ de même dimensions que $\mathbf{f}$ mais où tous les voxels présentent la même intensité $c_{n}=c=\frac{\{\mu _{v}\}_{G}+\{\mu _{v}\}_{B}}{2}$. Nous pouvons alors estimer la distance RMS $d_{cRMSR}$ de cette image moyenne par rapport au fantôme initial. Nous avons:

$$d_{cRMSR}=\sqrt{\sum _{n=1}^{N_{R}}\frac{(c-\{f_{v}\}_{n})^{2}}{\{N_{v}\}_{R}}}\times \frac{100\%}{\overline{f_{v}}}$$

Nous donnons Tab.11.1, comment, partant de ces grandeurs, sont calculées les FdMs.

Table: Définitions des FdMs.

$PVRB$	$PVRG$	$CRC$
$1-\frac{\vert\{N_{v}\}_{B}-N_{B}\vert}{\{N_{v}\}_{B}}$	$1-\frac{\vert\{N_{v}\}_{G}-N_{G}\vert}{\{N_{v}\}_{G}}$	$\frac{\mu _{G}-\mu _{B}}{\{\mu _{v}\}_{G}-\{\mu _{v}\}_{B}}$
$PRMSG$	$PRMSB$	$SNR$
$1-\frac{d_{RMSG}}{d_{cRMSG}}$	$1-\frac{d_{RMSB}}{d_{cRMSB}}$	$\frac{(\mu _{G}-\mu _{B})/\sqrt{\{N_{v}\}_{G}\sigma _{G}+\{N_{v}\}_{B}\sigma _... ...{B})/\sqrt{\{N_{v}\}_{G}\{\sigma _{v}\}_{G}+\{N_{v}\}_{B}\{\sigma _{v}\}_{B}}}$

Toutes les Figures de Mérite valent 1 lorsque la reconstruction est parfaite. C'est à dire quand la reconstruction est égale au fantôme. En revanche, une FdM valant 1 ne conduit pas forcément à une reconstruction identique au fantôme!

10.2.3 Choix des paramètres de la méthode algébrique GCSQ.

Lorsque nous avons décrit la méthode de reconstruction algébrique par gradient conjugué, nous avons défini 2 paramètres $(\beta ,\delta )$ (Ch.9). Pour effectuer une reconstruction algébrique, il faut au préalable fixer les valeurs de ces deux paramètres. Pour cela, il faut comprendre le rôle particulier joué par chacun ainsi que leur interaction.

10.2.3.1 Paramètre $\beta$.

$\beta$ correspond à un paramètre de lissage qui contrôle l'influence du terme représentant l'a priori $J_{2}$ par rapport au poids accordé aux données $J_{1}$. Il joue un rôle analogue à celui de la fréquence de coupure lors d'une reconstruction standard. Il faut savoir que $\beta$ dépend du nombre de voisins envisagés. En effet, $J_{2}$ représente une somme pondérée sur l'ensemble des cliques définies par le voisinage. Autrement dit, si le nombre de voisins est changé entre deux reconstructions d'un même sinogramme, le poids de $J_{2}$ vis à vis de $J_{1}$ sera changé. Si nous trouvons une valeur de $\beta _{1}=100$ optimale pour un système de voisinage ayant 8 voisins par site, il faut envisager le paramètre $\beta _{2}=8\times \beta _{1}/6=133$ si on ne considère plus que 6 voisins par site. Nous donnons Fig.11.1.a b et c les reconstructions issues d'un même sinogramme réel ($_{7}p_{v}$)^10.1 pour des valeurs croissantes du paramètre $\beta$.

Figure: Influence du paramètre $\beta$ sur la reconstruction d'un sinogramme réel. Sur la figure de gauche, la reconstruction apparaît principalement dominée par le bruit lié au mauvais conditionnement de notre système. En augmentant $\beta$, on lisse la reconstruction dans les zones homogènes. Ceci se voit très nettement sur les profils. Les profils du haut sont extraits suivant la direction verticale (de bas en haut) et ceux du bas suivant la direction horizontale (de droite à gauche).

On note que le fait d'augmenter ce facteur induit un lissage de plus en plus important. Ce paramètre nous permet dans un premier temps de compenser le mauvais conditionnement de notre système (Checkerboard effect sur la Fig.11.1.a). Ensuite, il permet de lisser plus ou moins fortement à l'intérieur des régions homogènes fixées par le paramètre $\delta$.

10.2.3.2 Paramètre $\delta$.

Le paramètre $\delta$ est utilisé pour normaliser le calcul des gradients nécessaires à l'estimation des discontinuités. Rappelons qu'une discontinuité correspond à une forte valeur du gradient alors que le bruit correspond à de faibles variations de celui-ci. Autrement dit, la grandeur $\delta$ permet de distinguer le bruit du signal. Il s'agit d'une sorte de seuil qui dépend évidemment du bruit présent sur l'image. Pour l'opérateur différentiel de premier ordre, il dépend de l'écart entre les valeurs $f_{n_{1}}$ et $f_{n_{2}}$ de deux voxels adjacents. Si cet écart est nul, les deux voxels appartiennent à une même région et il faut lisser dans la direction joignant ces deux voxels ( $\frac{\varphi '(u)}{2u}=1$). Si cet écart est grand par rapport à $\delta$, nous sommes en présence d'une discontinuité ( $\frac{\varphi '(u)}{2u}=0$). Ceci est illustré schématiquement sur la Fig.11.2. Nous posons un volume émetteur dont un profil est assimilé à une fonction porte. La hauteur de l'échelon et donc de la discontinuité vaut $\sigma _{2}$. Le profil est dégradé par un bruit dont les variations sont de l'ordre de grandeur de $\sigma _{1}$ (Fig.11.2.a). La forme de la fonction de pondération est fixée par les conditions du théorème de Geman et Reynolds étendu (Ch.9.Eq.9.6). Elle présente un point d'inflexion $A$ important (Fig.11.2.b). Le rôle du paramètre $\delta$ est de ramener les variations liées au bruit $\frac{\sigma _{1}}{\delta }$ en amont de ce point d'inflexion et celles liées au signal ( $\frac{\sigma _{2}}{\delta }$) en aval.

Figure: Choix du paramètre $\delta$.

[Variations du signal liées au bruit ou à un échelon.] [Position des variations du signal par rapport à la fonction de pondération.]

Nous avons normalisé nos fonctions de pondération $\frac{\varphi '(u)}{2u}$ pour que le point d'inflexion $A$ corresponde au point $(u,\frac{\varphi '(u)}{2u})=(\sqrt{2ln2},0.5)$, position à mi hauteur de la loi normale. Ainsi, si nous envisageons la hauteur des discontinuités $\delta$ comme l'écart type de notre bruit, la division par $\delta$ des gradients nous permet de normaliser le gradient (faire de la distribution de bruit une distribution normale). Les fonctions de pondération une fois normalisées sont représentées Fig.11.3.

Figure: Représentation de fonctions de pondération normalisées. Sur cette figure sont représentées en rouge la fonctions relative à $\varphi_{PM}$, en vert celle relative à $\varphi_{GR}$, en bleu celle relative à $\varphi_{HS}$, en noir celle relative à $\varphi_{HL}$ , en violet celle relative à $\varphi_{GM}$. Le point A est également représenté. Cette figure est à comparer à celle donnée lors de l'introduction des fonctions de pondérations (Fig.9.3 du Ch.9).

10.2.3.3 Simulation.

Afin de mieux apprécier les différences induites sur les reconstructions par le choix de ces deux paramètres, une simulation a été réalisée. Pour celle-ci, nous utilisons le fantôme d'Hoffman numérique présentant les caractéristiques indiquées Tab.11.2. Les valeurs des classes sont choisies arbitrairement pour présenter le meilleur contraste entre elles. Le fantôme comprend $128\times 128\times 19$ voxels dont les dimensions sont $1.88\times 1.88\times 6.4mm^{3}$. Ce fantôme comporte autant de plans qu'il y a de sections de plexiglas dans le fantôme physique utilisé pour les acquisitions.

Table: Valeurs du fantôme d'Hoffman utilisé pour la simulation en vue du choix des hyperparamètres.

$\{N_{v}\}_{B}$	$\{\mu _{v}\}_{B}$	$\Delta _{B}$	$\{N_{v}\}_{G}$	$\{\mu _{v}\}_{G}$	$\Delta _{G}$
19432	0.8	0.2	24311	1.6	0.1

Partant de ce fantôme, on construit un sinogramme complet $p$ par:

• la projection du volume.
• le bruitage poissonnien des projections.
• la reconstruction 2D par rétroprojection filtrée.
• la projection du volume reconstruit pour obtenir les vues manquantes.
• le rebinning par utilisation de l'algorithme FORE.

Nous reconstruisons ensuite 500 fois ce sinogramme $p$ en prenant pour chaque reconstruction un couple $(\beta ,\delta )$ différent. Les 20 valeurs de $\beta$ varient de $0.1$ à $1000$ par incrément logarithmique et les 25 valeurs de $\delta$ couvrent la plage de valeurs $[0.0001,1]$. On utilise pour chaque couple une reconstruction algébrique par gradient conjugué. Le voisinage est bidimensionnel (dans les plans transaxiaux) et on envisage un voisinage basé sur une 8-connexité. Chaque fois qu'un volume est reconstruit les FdMs sont calculées en prenant $\Delta _{B}$ et $\Delta _{G}$ (Tab.11.2) pour définir les régions sur les reconstructions. On calcule également la valeur moyenne de ces FdMs. On ne considère pas ici le $SNR$, car la variance sur le fantôme étant nulle pour chacune des deux régions ( $\{\sigma _{v}\}_{B}=\{\sigma _{v}\}_{G}=0$), la valeur de cette FdM n'est pas définie. En traçant chacune de ces FdMs en fonction du couple $(\beta ,\delta )$, on obtient les abaques illustrées Fig.11.4.

Figure 11.4: FdMs obtenues par simulation.

[Echelle de couleurs de 0 (gauche) à 1 (droite)]

[$PVRB$] [$PVRG$] [$CRC$]

[$PRMSB$] [$PRMSG$] [Moyenne des FdMs]

Le résultat essentiel que l'on peut tirer de cette simulation, est la lente variation des valeurs des FdMs en fonction des variations du couple de paramètres.

Ainsi, si nous savons qu'un couple $(\beta ,\delta )$ fournit une reconstruction de bonne qualité, le fait de choisir un couple légèrement différent n'affectera pas de manière significative la qualité de la reconstruction. Cette relative régularité nous permet de choisir un couple $(\beta ,\delta )$ de manière beaucoup plus souple. D'autre part, les abaques Fig.11.4 mettent en évidence une corrélation entre les deux paramètres. Lorsqu'on augmente le facteur de lissage $\beta$, il est nécessaire de diminuer le facteur marquant la hauteur des discontinuités $\delta$. En effet, lorsque le facteur de lissage augmente, les images prennent un aspect plus lisse. Cet aspect traduit le fait que deux voxels adjacents dans l'image sont fortement corrélés. Autrement dit, l'écart de valeur entre ces deux voxels et donc le gradient s'en trouve diminué. Il en va de même pour les discontinuités qui ne présentent plus alors un aspect aussi franc. C'est pourquoi, le paramètre $\delta$ traduisant justement cette différence de valeurs entre deux voxels adjacents doit être diminué. Si sur l'abaque représentant la FdM moyenne (Fig.11.4.g) nous réalisons un ajustement pour les valeurs de FdM dépassant 0.7 (les FdM sont égales à 1 si la reconstruction était parfaite), nous obtenons la loi empirique suivante:

$$\delta \approx \beta ^{-1.1}$$

Lorsque nous augmentons le paramètre $\beta$ d'un facteur 100, le paramètre $\delta$ doit donc être diminuer d'un facteur 150. Toutefois, notre simulation a été effectuée sur un fantôme présentant des classes uniformes bien distinctes. Autrement dit, la hauteur $\sigma _{2}$ liée au signal se distingue bien de l'amplitude du bruit $\sigma _{1}$. On peut donc prendre un $\delta$ élevé sans craindre de faire disparaître de l'information importante.

Il faut retenir que $\delta$ conditionne l'amplitude des signaux que l'on veut préserver.

S'il existe sur l'image une petite élévation du signal pour un groupe de voxels de l'ordre de $\sigma _{1}$, ce signal sera considéré de la part de la reconstruction comme une manifestation du bruit. Autrement dit, par le choix de la constante $\delta$ nous introduisons une information a priori dans notre reconstruction. La constante $\delta$ nous fixe bien la hauteur des discontinuités, i.e l'amplitude de l'échelon de signal que la reconstruction va considérer et préserver.

10.2.3.4 Lien entre la hauteur des discontinuités et le paramètre de lissage.

10.2.3.4.1 Etape 1: Autocorrélation du bruit sur l'image reconstruite

Au niveau de la première itération (première minimisation des équations normales), l'algorithme de reconstruction algébrique par minimisation alternée implémenté (si nous utilisons une image uniforme pour l'initialisation de notre volume) conduit à une carte des discontinuités uniforme, égale à 1. La régularisation correspond alors à un Laplacien non pondéré qui lisse de manière homogène le volume. Elle s'effectue par plan puisque nous travaillons avec un voisinage 2D à 8-connexité. Ce lissage induit une corrélation entre deux voxels adjacents d'autant plus forte que le paramètre $\beta$ est élevé.

Supposons que le volume à reconstruire ne soit que du bruit. Plus particulièrement, dans un plan de notre volume, supposons l'hypothèse $H_{0}$ pour laquelle la distribution d'activité $f(x,y)$ est la réalisation d'une fonction aléatoire $B(x,y)$ où $B$ représente une distribution gaussienne de bruit telle que:

$$\left\{ \begin{array}{lll} I\! \! E[B(x,y)] & = & 0\\ I\! \! E[... ...E[B(x,y).B(x+d_{x},y+d_{y})] & = & \Gamma _{B}(d_{x},d_{y}) \end{array}\right.$$

Le bruit correspond donc à une fonction aléatoire centrée, gaussienne stationnaire à l'ordre 2. La corrélation spatiale $\Gamma _{B}$ du bruit est fonction du paramètre de lissage $\beta$ utilisé pour sa reconstruction. Plus $\beta$ est petit, plus la fonction de corrélation est étroite.

10.2.3.4.2 Etape 2: Loi de probabilité suivie par les discontinuités.

A la deuxième itération, nous allons chercher à estimer, sur cette image de bruit, les écarts de valeur (ou gradients) suivant les directions $x$ et $y$. Pour caractériser la distribution de ces gradients, on pose une fonction aléatoire $D(x,y,d_{x,}d_{y})=B(x,y)-B(x+d_{x},y+d_{y})$. Sous l'hypothèse $H_{0}$ (l'image n'est que du bruit), cette fonction aléatoire est gaussienne (somme de deux fonctions aléatoires gaussiennes). Sa moyenne est nulle et sa variance est telle que:

$$\sigma ^{2}_{D}(x,y,d_{x},d_{y}) = I\! \! E[D(x,y,d_{x},d_{y})^{2}]$$ (10.1)

$$= 2\sigma ^{2}_{B}-2\Gamma _{B}(d_{x},d_{y})$$ (10.2)

Autrement dit, les variations des écarts de valeurs suivent une loi normale dont la variance est fonction de la corrélation du bruit sur l'image (donc du paramètre $\beta$). Or, notre hauteur des discontinuités $\delta$ est liée aux écarts de valeurs entre voxels. Elle est donc étroitement liée à $\sigma _{D}$. Lorsque $\beta$ augmente, la corrélation $\Gamma _{B}(d_{x},d_{y})$ augmente. Les écarts de valeurs entre voxels se réduisant, il faut réduire $\delta$ en conséquence. Ceci confirme l'observation faite lors de notre simulation.

10.2.3.4.3 Etape 3: Probabilité d'observer une discontinuité.

Sur toute image et dans le cas d'un voisinage basé sur une 4-connexité, nous estimons les gradients $Df_{x}$ et $Df_{y}$ au cours des itérations. Ils correspondent sous l'hypothèse $H_{0}$ à une réalisation $d(x,y,-1,0)$ de $D(x,y,-1,0)$ et $d(x,y,0,-1)$ de $D(x,y,0,-1)$. En effet, compte tenu du voisinage envisagé, les écarts $d_{x}$ et $d_{y}$ sont restreints aux valeurs $-1,0,1$. On peut voir le rôle de la fonction de pondération comme une règle de décision pour rejeter l'hypothèse $H_{0}$ quand l'écart mesuré sur l'image i.e. la statistique $d(x,y,d_{x},d_{z})$ est de probabilité trop faible. Une valeur improbable étant vraisemblablement le reflet d'une discontinuité. Cherchons donc à estimer la probabilité $I\! \! P(\vert D\vert>\epsilon )$ d'observer un écart de valeurs supérieur à un seuil $\epsilon$. La loi de probabilité de $D$ étant gaussienne, on trouve aisément cette probabilité:

$$I\! \! P(\vert D\vert>\epsilon )=erfc(\frac{\epsilon }{\sigma _{D}\sqrt{2}})$$

où $erfc$ représente la fonction cumulative d'erreur. On en donne une représentation Fig.11.5 pour 3 valeurs de $\sigma _{D}$.

Figure: Représentation de $I\! \! P(\vert D\vert>\epsilon )$ pour trois valeurs de $\sigma _{D}$.

Nous constatons que la fonction obtenue vérifie les conditions (Eq.9.6) que doivent vérifier les fonctions de pondération pour conserver les discontinuités.

10.2.4 Figures de Mérite sur Reconstruction.

Afin de comparer les différentes méthodes de reconstruction entre elles, nous allons chercher à estimer les FdMs sur les reconstructions pour des sinogrammes calculés puis réels. Pour les sinogrammes calculés, nous utiliserons le modèle de bruit que nous avons développé dans la première partie de cette thèse. Pour les sinogrammes réels, nous reprendrons certains des sinogrammes utilisés pour l'établissement de notre modèle de Bruit (Ch.6).

10.2.4.1 Valeurs des paramètres utilisés.

Tous les volumes reconstruits présentent les dimensions fournies en standard par la caméra ECAT HR+. Il s'agit de volumes comprenant $(N_{x},N_{y},N_{z})=(128,128,63)$ voxels de $2.025\times 2.025\times 2.425mm^{3}$.

Lorsque nous envisageons une reconstruction par rétroprojection, nous utilisons une fréquence de coupure normalisée pour le filtre d'apodisation suivant le plan transaxial telle que $f_{cxy}=0.5$. Du fait de l'utilisation des FFT et de la taille des voxels utilisés, cela conduit à une fréquence $f_{cxy}=\frac{1}{2T_{e}}=0.247mm^{-1}$. Nous utilisons suivant la direction axiale une fréquence de coupure normalisée $f_{cz}=0.5\rightarrow f_{cz}=0.206mm^{-1}$.

Les paramètres pour la reconstruction sont choisis en accord avec les observations que nous avons explicitées Par.11.2.3. Les paramètres sont donc $(\beta ,\delta )=(25,0.009)$ pour $_{3}p_{v}$, $(\beta ,\delta )=(25,0.011)$ pour $_{5}p_{v}$, $(\beta ,\delta )=(25,0.022)$ pour $_{7}p_{v}$.

10.2.4.2 Résultats des FdMs pour des sinogrammes simulés.

Figure: Plan transaxial du fantôme utilisé. Il s'agit d'un plan de référence auquel doivent être comparées les différentes reconstructions.

[Plan transaxial.]

[Profil suivant une direction verticale (bas $\rightarrow$ haut).]

[Profil suivant une direction horizontale (droite $\rightarrow$ gauche).]

Nous donnons sur la Fig.11.7 une illustration pour un plan transaxial situé à mi hauteur du champ de vue de la caméra les résultats des différentes reconstructions envisagées. Comme ces résultats sont obtenus à partir d'un fantôme numérique, nous donnons, pour le même plan transaxial, les profils idéaux permettant d'apprécier visuellement la qualité des reconstructions (Fig.11.6). Celles-ci proviennent toutes d'un sinogramme calculé et correspondant à une acquisition ayant collecté 60M de coups. Nous donnons Tab.11.3 les Figures de Mérite correspondant à ce sinogramme. De la même manière, nous donnons Fig.11.4 et Tab.11.4 (respectivement Fig.11.9 et Tab.11.5) les reconstructions et les FdMs obtenus pour une acquisition ayant collectée 100M de coups (respectivement 260M).

Table: Figures de Mérites sur reconstruction provenant d'un sinogramme calculé pour un niveau de bruit relatif à 60M de coups.( $\approx _{3}p_{v}$)

$\{N_{v}\}_{B}$	$\{\mu _{v}\}_{B}$	$\{\sigma _{v}\}_{B}$	$\Delta _{B}$	$\{N_{v}\}_{G}$	$\{\mu _{v}\}_{G}$	$\{\sigma _{v}\}_{G}$	$\Delta _{G}$
36306	0.09	0.02	0.06	48498	0.35	0.03	0.07

Sinogramme	FBP3D	FORE+FBP2D	FORE+GCSQ	FOSA+FBP2D	FOSA+GCSQ
$N_{B}$	51175	49827	42919	45376	38624
$\mu _{B}$	0.08	0.08	0.09	0.09	0.09
$\sigma _{B}$	0.03	0.03	0.03	0.03	0.03
$d_{RMSRB}$	74.7	74.8	66	75.1	66.6
$N_{G}$	35476	34781	38313	34465	38472
$\mu _{G}$	0.28	0.28	0.29	0.29	0.29
$\sigma _{G}$	0.03	0.03	0.03	0.03	0.03
$d_{RMSRG}$	24.8	25.4	24.8	25.6	24.9
$PVRB$	0.59	0.63	0.82	0.75	0.94
$PVRG$	0.73	0.72	0.79	0.71	0.79
$PRMSB$	0.46	0.46	0.52	0.46	0.52
$PRMSG$	0.34	0.32	0.33	0.32	0.33
$CRC$	0.84	0.85	0.85	0.84	0.84
$SNR$	0.59	0.59	0.58	0.59	0.59

Table: Figures de Mérites sur reconstruction provenant de sinogrammes calculés pour un niveau de bruit relatif à 100M de coups.( $\approx _{5}p_{v}$)

$\{N_{v}\}_{B}$	$\{\mu _{v}\}_{B}$	$\{\sigma _{v}\}_{B}$	$\Delta _{B}$	$\{N_{v}\}_{G}$	$\{\mu _{v}\}_{G}$	$\{\sigma _{v}\}_{G}$	$\Delta _{G}$
36306	0.15	0.02	0.09	48498	0.53	0.04	0.1

Sinogramme	FBP3D	FORE+FBP2D	FORE+GCSQ	FOSA+FBP2D	FOSA+GCSQ
$N_{B}$	52095	50424	44347	46276	39694
$\mu _{B}$	0.14	0.14	0.14	0.15	0.15
$\sigma _{B}$	0.05	0.05	0.05	0.05	0.05
$d_{RMSRB}$	73.4	73.4	62.8	73.8	63.6
$N_{G}$	36092	35543	38661	35311	38424
$\mu _{G}$	0.46	0.47	0.48	0.48	0.49
$\sigma _{G}$	0.05	0.05	0.05	0.05	0.05
$d_{RMSRG}$	24.7	25.3	24.6	25.6	24.8
$PVRB$	0.56	0.61	0.78	0.73	0.90
$PVRG$	0.74	0.73	0.80	0.73	0.79
$PRMSB$	0.47	0.47	0.55	0.46	0.54
$PRMSG$	0.34	0.32	0.34	0.32	0.33
$CRC$	0.85	0.85	0.88	0.84	0.86
$SNR$	0.60	0.59	0.58	0.59	0.58

Table: Figures de Mérites sur reconstruction provenant de sinogrammes calculés pour un niveau de bruit relatif à 260M de coups.( $\approx _{7}p_{v}$)

$\{N_{v}\}_{B}$	$\{\mu _{v}\}_{B}$	$\{\sigma _{v}\}_{B}$	$\Delta _{B}$	$\{N_{v}\}_{G}$	$\{\mu _{v}\}_{G}$	$\{\sigma _{v}\}_{G}$	$\Delta _{G}$
36306	0.40	0.07	0.26	48498	1.48	0.1	0.28

Sinogramme	FBP3D	FORE+FBP2D	FORE+GCSQ	FOSA+FBP2D	FOSA+GCSQ
$N_{B}$	51534	49952	44015	45348	39020
$\mu _{B}$	0.36	0.36	0.37	0.38	0.39
$\sigma _{B}$	0.13	0.13	0.13	0.13	0.12
$d_{RMSRB}$	72.3	72.2	59.0	72.5	59.7
$N_{G}$	37150	36539	40383	36306	40101
$\mu _{G}$	1.18	1.20	1.24	1.22	1.26
$\sigma _{G}$	0.12	0.12	0.14	0.13	0.14
$d_{RMSRG}$	23.4	24.1	22.7	24.3	22.8
$PVRB$	0.58	0.62	0.79	0.75	0.93
$PVRG$	0.77	0.75	0.83	0.75	0.83
$PRMSB$	0.48	0.48	0.57	0.48	0.57
$PRMSG$	0.38	0.36	0.39	0.35	0.39
$CRC$	0.83	0.84	0.87	0.83	0.86
$SNR$	0.60	0.59	0.58	0.59	0.59

Globalement, quel que soit le niveau de bruit, les FdMs calculées sur une reconstruction algébrique sont meilleures que celles calculées après l'utilisation d'une reconstruction standard (exception faite pour la variance et donc pour le $SNR$).

Les algorithmes de rebinning FORE comme FOSA conduisent à des images qui sont plus bruitées (la variance est plus élevée). Cette variance plus élevée est certainement le reflet des interpolations dans l'espace de Fourier. Elles sont obligatoires pour les deux algorithmes. De surcroît pour l'algorithme FORE, elle provient certainement de l'approximation supplémentaire liée à l'usage du théorème de phase stationnaire. Cette augmentation de la variance se traduit par une baisse de rapport $SNR$. D'autre part, les reconstructions standard effectuées après rebinning conduisent en général à des Figures de Mérite moins bonnes que dans le cas de la reconstruction par rétroprojection 3D. Cette perte de performance peut toutefois être compensée par les performances accrues de la reconstruction algébrique.

10.2.4.2.1 Aspect des Images

La reconstruction par gradient conjugué conduit à des images présentant un aspect totalement différent des images par reconstruction standard. Les images semblent en effet par endroits beaucoup plus lisses. Cette impression conduit à penser de prime abord à une résolution spatiale dégradée. En fait, il n'en est rien puisque les contours de l'image sont préservés. Nous avons donc bien un lissage adaptatif de nos images en fonction du signal présent. Autrement dit, par ce genre de reconstruction, la contrainte $J_{2}$ effectue un lissage anisotropique des images lors de la reconstruction.

10.2.4.2.2 Capacité à retrouver les volumes.

D'une manière générale, le volume de la substance blanche est toujours surestimé, alors que le volume de la substance grise est toujours sous-estimé. Cela s'explique fort bien par la présence d'un lissage. En effet, la substance blanche correspond à une classe dont l'intensité est comprise entre celle du fond et celle de la substance grise. Si on filtre l'image, donc en la lissant, on va propager de l'information de la substance grise vers la substance blanche et le fond. Pour ces valeurs propagées, l'intensité est forcément plus basse que celle de la substance grise. Cela peut conduire à des voxels dont la valeur est comprise dans la fourchette d'intensité de la substance blanche ( $[\mu _{B}-\Delta _{B},\mu _{B}+\Delta _{B}]$). On augmente ainsi le nombre de voxels décomptés dans cette région et on diminue le nombre de voxels décomptés dans la substance grise. Ce problème vient de la définition de nos régions par un simple seuillage suivi d'une opération analogue à une érosion. Cette méthode de segmentation est certes trop rudimentaire! En revanche, la notion de région introduite suffit à mettre en évidence la propension de la reconstruction algébrique à mieux délimiter des régions homogènes. Elle confirme ce que nous pouvons constater visuellement sur les Fig.11.7, Fig.11.8 et Fig.11.9. Les volumes sont mieux estimés, nous conduisant évidemment à une augmentation des FdMs associées.

10.2.4.3 Résultats des FdMs pour des sinogrammes réels.

Nous effectuons les mêmes séries de mesures sur des sinogrammes réels présentant les mêmes nombres de coups que précédemment. Nous donnons sur la Fig.11.10 une illustration pour un plan transaxial situé à mi hauteur du champ de vue de la caméra les résultats des différentes reconstructions envisagées. Ces reconstructions proviennent toutes d'un sinogramme réel et correspondant à une acquisition ayant collecté 60M de coups. Nous donnons Tab.11.6 les Figures de Mérite correspondant à ce sinogramme. De la même manière, nous donnons Fig.11.11 et Tab.11.7 (respectivement Fig.11.12 et Tab.11.8) les reconstructions et les FdMs obtenus pur une acquisition ayant collectée 100M de coups (respectivement 260M).

Table: Figures de Mérites sur reconstruction provenant de sinogrammes réels pour un niveau de bruit relatif à 60M de coups.( $_{3}p_{v}$)

$\{N_{v}\}_{B}$	$\{\mu _{v}\}_{B}$	$\{\sigma _{v}\}_{B}$	$\Delta _{B}$	$\{N_{v}\}_{G}$	$\{\mu _{v}\}_{G}$	$\{\sigma _{v}\}_{G}$	$\Delta _{G}$
36306	0.09	0.02	0.06	48498	0.35	0.03	0.07

Sinogramme	FBP3D	FORE+FBP2D	FORE+GCSQ	FOSA+FBP2D	FOSA+GCSQ
$N_{B}$	73465	70996	57479	63691	48801
$\mu _{B}$	0.08	0.09	0.08	0.09	0.09
$\sigma _{B}$	0.03	0.03	0.03	0.03	0.03
$d_{RMSRB}$	61.3	60.8	56.0	61.6	58.6
$N_{G}$	26957	18923	28575	15605	25065
$\mu _{G}$	0.29	0.30	0.29	0.31	0.30
$\sigma _{G}$	0.02	0.02	0.02	0.03	0.03
$d_{RMSRG}$	27.4	30.4	28.2	31.8	29.5
$PVRB$	-2.35$\times$10$^{-2}$	-4.45$\times$10$^{-2}$	0.42	0.25	0.66
$PVRG$	0.56	0.39	0.59	0.32	0.52
$PRMSB$	0.56	0.56	0.60	0.56	0.58
$PRMSG$	0.27	0.19	0.25	0.15	0.21
$CRC$	0.82	0.81	0.82	0.81	0.82
$SNR$	0.69	0.67	0.67	0.66	0.64

Table: Figures de Mérites sur reconstruction provenant de sinogrammes réels pour un niveau de bruit relatif à 100M de coups.( $_{5}p_{v}$)

$\{N_{v}\}_{B}$	$\{\mu _{v}\}_{B}$	$\{\sigma _{v}\}_{B}$	$\Delta _{B}$	$\{N_{v}\}_{G}$	$\{\mu _{v}\}_{G}$	$\{\sigma _{v}\}_{G}$	$\Delta _{G}$
36306	0.15	0.02	0.09	48498	0.55	0.04	0.1

Sinogramme	FBP3D	FORE+FBP2D	FORE+GCSQ	FOSA+FBP2D	FOSA+GCSQ
$N_{B}$	72067	70504	56876	63542	48734
$\mu _{B}$	0.14	0.14	0.14	0.15	0.15
$\sigma _{B}$	0.05	0.06	0.05	0.06	0.05
$d_{RMSRB}$	61.2	61.4	54.6	61.7	56.6
$N_{G}$	29011	23722	32704	20885	29461
$\mu _{G}$	0.47	0.49	0.49	0.50	0.50
$\sigma _{G}$	0.03	0.04	0.04	0.03	0.03
$d_{RMSRG}$	26.6	28.6	26.5	29.8	27.7
$PVRB$	0.02	0.06	0.43	0.25	0.65
$PVRG$	0.60	0.49	0.67	0.43	0.60
$PRMSB$	0.56	0.56	0.60	0.55	0.59
$PRMSG$	0.29	0.24	0.29	0.20	0.26
$CRC$	0.82	0.82	0.82	0.80	0.82
$SNR$	0.69	0.68	0.68	0.68	0.67

Table: Figures de Mérites sur reconstruction provenant de sinogrammes réels pour un niveau de bruit relatif à 260M de coups.( $_{7}p_{v}$)

$\{N_{v}\}_{B}$	$\{\mu _{v}\}_{B}$	$\{\sigma _{v}\}_{B}$	$\Delta _{B}$	$\{N_{v}\}_{G}$	$\{\mu _{v}\}_{G}$	$\{\sigma _{v}\}_{G}$	$\Delta _{G}$
36306	0.39	0.07	0.26	48498	1.48	0.1	0.28

Sinogramme	FBP3D	FORE+FBP2D	FORE+GCSQ	FOSA+FBP2D	FOSA+GCSQ
$N_{B}$	72286	72696	58897	65149	50595
$\mu _{B}$	0.35	0.35	0.35	0.38	0.37
$\sigma _{B}$	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1
$d_{RMSRB}$	61.2	62.0	52.5	61.8	53.4
$N_{G}$	30686	28199	37544	25939	35316
$\mu _{G}$	1.21	1.24	1.25	1.26	1.27
$\sigma _{G}$	0.08	0.09	0.09	0.09	0.1
$d_{RMSRG}$	25.9	27.1	24.6	27.9	25.4
$PVRB$	8.98.10$^{-3}$	-2.31.10$^{-3}$	0.38	0.21	0.61
$PVRG$	0.63	0.58	0.77	0.53	0.73
$PRMSB$	0.56	0.55	0.62	0.55	0.62
$PRMSG$	0.31	0.28	0.34	0.25	0.32
$CRC$	0.82	0.82	0.84	0.80	0.82
$SNR$	0.69	0.68	0.69	0.69	0.70

10.2.4.3.1 Capacité à retrouver les volumes.

Les très faibles valeurs observées pour la précision à retrouver le volume de la substance blanche attirent immédiatement l'attention. Une valeur nulle ou négative revient à dire que la reconstruction conduit à une région blanche dont le volume est plus du double de celui mesuré dans le volume de référence. C'est certainement la conjonction de plusieurs facteurs qui justifie d'aussi faibles valeurs.

• L'intervalle de valeur $\Delta _{B}$ adopté est trop grand. Autrement dit, nous comptons comme matière blanche de l'information provenant de la matière grise et ayant été lissée. C'est la conséquence encore plus évidente du fait que notre méthode de segmentation pour estimer le volume est trop simpliste.
• Le fantôme introduit sous la caméra ne correspond pas réellement au fantôme numérique utilisé pour le calcul des FdMs. Autrement dit, nous avons un biais systématique qui, de surcroît, nous conduit à des distances au volume de référence plus faibles que dans la simulation.
• Le modèle de bruit envisagé, trop simpliste conduit à des images, dont les caractéristiques post-reconstruction ne sont pas celles du cas réel.

Ces valeurs de $PVRB$ ne sont faibles (quasi-nulles) qu'avec l'utilisation d'une méthode standard de reconstruction par rétroprojection des données filtrées. En effet, les valeurs des FdMs correspondantes pour la méthode de reconstruction algébrique sont proches de 0.4 après rebinning par l'algorithme FORE et proches de 0.6 après utilisation de l'algorithme FOSA. Ce gain dans la précision à retrouver le volume de la substance blanche ne se fait pas au détriment du volume de la substance grise. Cette augmentation est bien le reflet d'une meilleure segmentation en deux classes, plus proches des régions du volume de référence.

10.2.4.3.2 Remarque sur le modèle de bruit

La comparaison entre les images issues de sinogrammes calculés avec celles provenant de sinogrammes réels met en évidence des limitations sur le modèle de bruit.

• La corrélation entre les voxels semble nettement plus élevée dans le cas d'images issues de sinogrammes calculés. Cela provient certainement en partie du sous-échantillonage effectué. D'autre part, il faudrait pour la projection prendre des volumes présentant une taille de voxels plus réduite. La contrepartie réside évidemment dans un temps nécessaire à la projection plus important. D'autre part, on ne peut augmenter exagérément la taille du volume car cela conduit rapidement à des volumes de dimensions trop grandes pour la mémoire dont nous disposons (notamment pour l'étape de filtrage faisant appel à des FFT).
• Il semble également que notre modèle de bruit conduit à un bruit ne présentant pas assez de hautes fréquences. Ce problème est certainement lié au premier. Le volume utilisé pour la projection présente un pas d'échantillonage trop grossier, le moyennage qui en résulte, atténue les hautes fréquences.